(2380) matematyka3 przebieg zmiennosci, Matematyka, PDF
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przebiegzmienno±cifunkcji
mgrZofiaMakara
20maja2004
1Przebiegzmienno±cifunkcji-krótkiewprowa-
dzenie
Abyzbada¢przebiegzmienno±cifunkcjiwyznaczasi¦si¦mi¦dzyinnymi(jeli
towykonalne):
1.Dziedzin¦fukcji;
2.Miejscazerowefunkcji;
3.Granicelewo-iprawo-stronnewpunktachwył¡czonychzdziedziny
orazw+
1
oraz
−1
;
4.Asymptotyfunkcji;
5.Dziedzin¦pierwszejpochodnej;
6.Ekstremum;
7.Przedziałymonotoniczno±ci;
8.Dziedzin¦drugiejpochodnej;
9.Punktyprzegi¦cia;
10.Przedziaływypukło±ciiwkl¦sło±ci;
Wszystkiewyznaczonedanemo»nawpisa¢wjedn¡tabel¦(zaznaczaj¦c,w
niejodpowiednio:dziedzin¦(funkcji,pierwszejpochodnejfunkcji,drugiejpo-
chodnejfunkcji),przedziałymonotonicno±ci(zwyró»nieniemekstremum),
przedziaływypukło±ciiwkl¦slo±ci(zwyró»nieniempunktówprzegi¦cia)).
Napodstawietakzebranychdanychmo»nanaszkicowa¢wykresfunkcji.
1
1.1Asymptoty
Asymtotapoziomafunkcji
f
(
x
)jestpostaci
y
=
b
,gdzie:
x
!1
f
(
x
)
lub
x
!−1
f
(
x
)
Asymptotauko±nafunkcji
f
(
x
)jestpostaci
y
=
ax
+
b
,gdzie:
b
=lim
a
=lim
x
!1
f
(
x
)
x
b
=lim
x
!1
(
f
(
x
)
−
ax
)
lub
f
(
x
)
x
b
=lim
x
!−1
(
f
(
x
)
−
ax
)
Asymptotapionowalewostonnafunkcji
f
(
x
)jestpostaci
x
=
a
,gdzie
a
jest
punktemwył¡czonymzdziedziny,je±li:
a
=lim
x
!−1
x
!
a
−
f
(
x
)=
1
Asymptotapionowaprawostonnafunkcji
f
(
x
)jestpostaci
x
=
a
,gdzie
a
jestpunktemwył¡czonymzdziedziny,je±li:
x
!
a
−
f
(
x
)=
−1
lub
lim
x
!
a
+
f
(
x
)=
1
Asymptotapionowaobustonnafunkcji
f
(
x
)jestpostaci
x
=
a
,gdzie
a
jest
punktemwył¡czonymzdziedziny,je±li:
x
!
a
+
f
(
x
)=
−1
lub
lim
x
!
a
f
(
x
)=
−1
lub
lim
x
!
a
f
(
x
)=
1
1.2Ekstremum-minimumimakasimumlokalne
Funkcja
f
mawpunkcie
x
0
2
D
f
minimumlokalne,je»eli:
9
>
0
8
x
2
S
(
x
0
,
)
f
(
x
)
f
(
x
0
)
,
Funkcja
f
mawpunkcie
x
0
2
D
f
minimumlokalnewła±ciwe,je»eli:
9
>
0
8
x
2
S
(
x
0
,
)
f
(
x
)
>f
(
x
0
)
,
Funkcja
f
mawpunkcie
x
0
2
D
f
maksimumlokalne,je»eli:
9
>
0
8
x
2
S
(
x
0
,
)
f
(
x
)
¬
f
(
x
0
)
,
Funkcja
f
mawpunkcie
x
0
2
D
f
maksimumlokalnewła±ciwe,je»eli:
9
>
0
8
x
2
S
(
x
0
,
)
f
(
x
)
<f
(
x
0
)
,
gdzie
S
(
x
0
,
)=(
x
0
−
,x
0
)
[
(
x
0
,x
0
+
)jests¡siedztwempunktu
x
0
w
promieniu
.
2
b
=lim
lim
lim
lim
Twierdzenie1(Fermata-warunekkoniecznyistnieniaekstremum)
Je±lifunkcjafposiadapochodn¡wpunkcief
0
(
x
0
)
,x
0
2
(
a,b
)
orazposiada
ekstremumlokalnew
(
x
0
,f
(
x
0
))
to:
f
0
(
x
0
)=0;
Twierdzenie2(Iwarunekdodtatecznyistnieniaekstremum)
Je»eli
Je±lifunkcjafposiadapochodn¡wpunkcief
0
(
x
0
)=0
,x
0
2
(
a,b
)
,za±dla
8
a<x<x
0
f
0
(
x
)
<
0;
8
x
0
<x<b
f
0
(
x
)
>
0;
tomawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
minimumlokalne.
Twierdzenie3(Iwarunekdodtatecznyistnieniaekstremum)
Je»eli
Je±lifunkcjafposiadapochodn¡wpunkcief
0
(
x
0
)=0
,x
0
2
(
a,b
)
,za±dla
8
a<x<x
0
f
0
(
x
)
>
0;
8
x
0
<x<b
f
0
(
x
)
<
0;
tomawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
maksimumlokalne.
Twierdzenie4(IIwarunekdodtatecznyistnieniaekstremum)
Je»eli
funkcjafposiadapierwsz¡idrug¡pochodn¡wpunkciex
0
2
(
a,b
)
oraz
f
0
(
x
0
)=0
,za±
Twierdzenie5(IIwarunekdodtatecznyistnieniaekstremum)
Je»eli
funkcjafposiadapierwsz¡idrug¡pochodn¡wpunkciex
0
2
(
a,b
)
oraz
f
0
(
x
0
)=0
,za±
Definicja1(Maksimumglobalne)
Je±lix
0
2
D
f
,y
0
=
f
(
x
0
)
oraz
8
x
2
D
f
f
(
x
)
y
0
tofunkcjafmawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
maksimumglobalne.
Definicja2(Minimumglobalne)
Je±lix
0
2
D
f
,y
0
=
f
(
x
0
)
oraz
8
x
2
D
f
f
(
x
)
¬
y
0
tofunkcjafmawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
minimumglobalne.
3
oraz
oraz
f
00
(
x
0
)
<
0;
tofunkcjafmawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
maksimumlokalne.
f
00
(
x
0
)
>
0;
tofunkcjafmawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
minimumlokalne.
1.3Przedziałymonotoniczno±ci
Funkcjenazywamymonotonicznymije±lis¡rosn¡ce,malej¡ce(±ci±lemono-
toniczne)lubniemalej¡ceinierosn¡ce(słabomonotoniczne).
Funkcjafjestrosn¡canazbiorze
D
D
f
,je»eli:
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
<x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
<f
(
x
2
))]
lub
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
>x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
>f
(
x
2
))]
Funkcjafjestmalej¡canazbiorze
D
D
f
,je»eli:
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
>x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
<f
(
x
2
))]
lub
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
>x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
<f
(
x
2
))]
.
Funkcjafjestniemalej¡canazbiorze
D
D
f
,je»eli:
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
<x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
¬
f
(
x
2
))]
lub
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
>x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
))]
Funkcjafjestnierosn¡canazbiorze
D
D
f
,je»eli:
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
<x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
))]
lub
8
x
1
,x
2
2
D
[(
x
1
>x
2
)
)
(
f
(
x
1
)
¬
f
(
x
2
))]
Twierdzenie6
Je»elipierwszapochodnafunkcjiwprzedziale
(
a,b
)
przyj-
mujewarto±cidodatnie,tojest:
8
x
2
(
a,b
)
f
0
(
x
)
>
0
tofunkcjajestrosn¡cawtymprzedziale.
Twierdzenie7
Je»elipierwszapochodnafunkcjiwprzedziale
(
a,b
)
przyj-
mujewarto±ciujemne,tojest:
8
x
2
(
a,b
)
f
0
(
x
)
<
0
tofunkcjajestmalej¡cawtymprzedziale.
Twierdzenie8
Je»elipierwszapochodnafunkcjiwprzedziale
(
a,b
)
przyj-
mujewarto±cirównezero,tojest:
8
x
2
(
a,b
)
f
0
(
x
)=0
tofunkcjajeststaławtymprzedziale.
4
1.4Punktyprzegi¦cia
Niechfunkcja
f
b¦dzieokre±lonairó»niczkowalnana(
a,b
).
Funkcja
f
mawpunkcie
x
0
2
D
f
punktprzegi¦cia,je»eli:
-
f
jest±ci±lewypukłana
S
(
x
0
,
)oraz±ci±lewkl¦słana
S
(
,x
0
);
lub
-
f
jest±ci±lewkl¦słana
S
(
x
0
,
)oraz±ci±lewypukłana
S
(
,x
0
);
gdzieistnieje
>
0.
Twierdzenie9(warunekkoniecznyistnieniapunktuprzegi¦cia)
Je±li
funkcjafposiadadrug¡pochodn¡wpunkcief
00
(
x
0
)
,x
0
2
(
a,b
)
orazposiada
punktprzegi¦cia
(
x
0
,f
(
x
0
))
to:
f
00
(
x
0
)=0;
Twierdzenie10(warunekdodtatecznyistnieniapunktuprzegi¦cia)
Je»eliJe±lifunkcjafposiadapochodn¡wpunkcief
00
(
x
0
)=0
,x
0
2
(
a,b
)
,
za±dla
8
a<x<x
0
f
00
(
x
)
<
0;
8
x
0
<x<b
f
00
(
x
)
>
0;
tomawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
punktprzegi¦cia.
Twierdzenie11(warunekdodtatecznyistnieniaekstremum)
Je»eli
Je±lifunkcjafposiadapochodn¡wpunkcief
0
(
x
0
)=0
,x
0
2
(
a,b
)
,za±dla
8
a<x<x
0
f
00
(
x
)
>
0;
8
x
0
<x<b
f
00
(
x
)
<
0;
tomawpunkcie
(
x
0
,f
(
x
0
)
punktprzegi¦cia.
1.5Przedziaływkl¦sło±ciiwypukło±ci
Funkcja
f
jestwypukłanaprzedziale(
a,b
),je±li:
8
x
1
,x
1
2
(
a,b
)
8
2
(0
,
1)
f
(
x
1
+(1
−
)
x
2
)
¬
f
(
x
1
)+(1
−
)
f
(
x
2
);
Funkcja
f
jest±ci±lewypukłanaprzedziale(
a,b
),je±li:
8
x
1
,x
1
2
(
a,b
)
8
2
(0
,
1)
f
(
x
1
+(1
−
)
x
2
)
<f
(
x
1
)+(1
−
)
f
(
x
2
);
Funkcja
f
jestwkl¦słanaprzedziale(
a,b
),je±li:
8
x
1
,x
1
2
(
a,b
)
8
2
(0
,
1)
f
(
x
1
+(1
−
)
x
2
)
f
(
x
1
)+(1
−
)
f
(
x
2
);
Funkcja
f
jest±ci±lewkl¦słanaprzedziale(
a,b
),je±li:
8
x
1
,x
1
2
(
a,b
)
8
2
(0
,
1)
f
(
x
1
+(1
−
)
x
2
)
>f
(
x
1
)+(1
−
)
f
(
x
2
);
Niechfunkcja
f
b¦diepodwójnieró»niczkowalna:
5
oraz
oraz
[ Pobierz całość w formacie PDF ]