Ćwiczenia z analizy matematycznej - zadania 3 - granica i ciągłość funkcji(1), Analiza, Analiza matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
‚
WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ
ZADANIA
GRANICAICI
�
G
Š
O
‘‚
FUNKCJI
1.Obliczy¢granice:
a)lim
x!2
x+1
x
2
+1
, b)lim
x!5
(x−1)
p
2−x
x
2
−1
, f)lim
x!3
x
3
−27
x−3
,
2x
3
+5x
2
−x+5
4x
3
−2x−2
,e)lim
1−x
−
3
d)lim
x!1
,
x!1
x!1
1−x
3
x
3
−8
x−2
, h) lim
x
3
+3x
2
+2x
x
2
−x−6
,
g)lim
x!2
x!−2
2.Obliczy¢granice:
a)lim
x!5
p
x−1−2
x−5
, b)lim
x!3
p
x+13−2
p
x+1
x
2
−9
,c)lim
x!25
p
x−5
x
−
25
,
x
2
+1
−
p
x
+1
tgx
x
2
+1−1
d)lim
x!0
1−
p
1+t
gx
, e)lim
p
x
2
+25−5
, f)lim
1−
p
x+1
,
x!0
x!0
p
2x
p
x
2
+1
.
x!−1
(
x
2
+1+x),h) lim
x!−1
3.Wiedz¡c,»elim
t!0
sint
t
=1,obliczy¢granice:
a)lim
x!0
1−
p
1−x
sin4x
,e)lim
x!2
p
3x+4−2
sin5x
,f)lim
x!0
3x
5sin7x
,
sin3x
4x
,
d)lim
x!0
4x
3sin2x
, h)lim
x!0
sin2x
sin3x
, i)lim
x!0
tg2x
sin3x
,
g)lim
x!0
x!0
p
1−cosx
sinx
, l) lim
x!0
x!1
xsin
1
x
2
−4
arctg(x+2)
.
j)lim
x
, k)lim
x!0
x!−2
4.Obliczy¢granice:
a)lim
x!
4
cos2x
sinx−cosx
, b)lim
x!0
tg2x
tgx
, c)lim
x!1
arcsin
1−x
1+x
,
arcsin(x+3)
x
2
+3x
,e)lim
x!1
arctg
x+1
arctgx
x
,
d) lim
x!−3
x+2
, f)lim
x!0
arcsin(x+2)
x
2
+2x
,h)lim
sin5x−sin3x
sin3x
,i)lim
g) lim
x!−2
x!0
x+1
x−2
2x−1
x!0
ln(xctgx),
x!0
(1+3x)
1
x
, k)lim
x!1
, l)lim
x!1
x(ln(x+1)−lnx).
5.Obliczy¢granice:
a)lim
x!4
x
2
−2x−8
x−1
,n2N;
1
x
3
−4x
2
−5x
x
2
−6x+5
, c)lim
1
p
p
g) lim
sin5x
x
, b)lim
sin(x−2)
2x−4
, c)lim
j)lim
x
2
−9x+20
;
b)lim
x!1
x
n
−1
1−
p
x+1
;
d)lim
x!0
4x
p
x
2
+1
−
p
x
+1
3sin2x
;
e)lim
x!8
8−x
sin(
1
8
x)
;
f)lim
x!
1+cosx
sin
2
x
.
6.Obliczy¢granicƒfunkcjiwpunkciex
0
,je–liistnieje:
a)
sinx
x
,x
0
=0;
x
2
2+x
2
x
2
b)
,x
0
=+1;
c)
x
2
2+x
2
1
x
2
,x
0
=0;
x
,x
0
=0;
e)
arcsinx
x
,x
0
=0;
f)sin
1
x
,x
0
=0;
g)xsin
1
x
,x
0
=0.
7.Obliczy¢granicejednostronnefunkcjiwpodanympunkcieorazgranicƒ
(oileistnieje):
a)f(x)=
1
(1−x)
,x
0
=1, b)f(x)=
1
(1−x)
2
,x
0
=1,
c)f(x)=
1
1−x
2
,x
0
=1,−1,d)f(x)=2
1
x
,x
0
=0,
e)f(x)=
x
(3−x)
2
,x
0
=3, f)f(x)=
x
(3−x)
3
,x
0
=3,
1
−x
,x
0
=1, h)f(x)=
1
g)f(x)=2
1
x
2
−
4
,x
0
=2,−2,
1
x
2
−
4
,x
0
=2,−2, j)f(x)=e
−
1
x
,x
0
=0,
i)f(x)=4
,x
0
=1, l)f(x)=
|2−x|
x−2
,x
0
=2,
m)f(x)=2
ctgx
,x
0
=0, n)f(x)=
|x−1|
1
1
−x
3
x−1
+x,x
0
=1,
o)f(x)=arctg
1
1−x
,x
0
=1.
8.Znale„¢granicelewostronneiprawostronnefunkcjiwpunkciex
0
:
a)f(x)=dx
2
e+x,x
0
=10;
b)x0,f(x)=lim
n!+1
x
n
1+x
n
,x
0
=1;
x−a
,x
0
=a,a2R;
e)f(x)=
x
p
|sinx|
,x
0
=0.
2
c)lim
x!0
d)
arctgx
k)f(x)=e
c)f(x)=xe
1
x
,x
0
=0;
d)f(x)=2
1
9.Zbada¢ci¡g“o–¢funkcji:
x+2
dlax6=−2
(
sinx
|x|
dlax6=0
a)f(x)=
−4 dlax=−2
, b)f(x)=
1 dlax=0
,
x
dlax6=0
(
2
x
+3 dlax0
(x−2)
2
dlax>0
,
c)f(x)=
1 dlax=0
,d)f(x)=
(
2
1
x
dlax6=0
1 dlax=0
,f)f(x)=
(
1−cosx
x
2
dlax6=0
e)f(x)=
2
dlax=0
,
1
(
2
ctgx
dlax2(−
2
,
2
)\{0}
(
p
xarctg
1
x
dlax>0
g)f(x)=
0 dlax=0
, h)f(x)=
0 dlax=0
.
10.Zbada¢ci¡g“o–¢funkcji:
a)f:R−!R,f(x)=x
2
,
b)f:R\{0}−!R,f(x)=
1
x
,
c)f:R
+
−!R,f(x)=
p
x,
d)f:R−!R,f(x)=|x|,
1dlax62Q
0dlax2Q
,
e)f:R−!R,f(x)=
0dlax62Q
xdlax2Q
;
f)f:R−!R,f(x)=
1dlax=0
sinx
|x|
dlax6=0
;
h)f:R\{1}−!R,f(x)=
x
2
−x
3
|x−1|
;
i)f:R−!R,f(x)=dxe−d−xe.
11.Zbada¢ci¡g“o–¢funkcji(wzale»no–ciodwarto–ciparametr
ó
wa,b):
0 ,x=0
a)f(x)=
xsin
1
x
,x6=0
;
8
<
(x−1)
2
x
2
−1
, |x|6=1
a ,x=−1
b ,x=1
b)f(x)=
;
:
x ,|x|1
c)f(x)=
x
2
+ax+b,|x|>1
.
12.Dobra¢parametrytak,abyfunkcjaby“aci¡g“a:
(
ln(5+x)−ln5
x
dlax6=0
(
p
1+x−1
x
dlax6=0
a)f(x)=
a dlax=0
, b)f(x)=
a dlax=0
,
3
(
x
2
−4
(
e
x
−1
g)f:R−!R,f(x)=
c)f(x)=
(
2
1
x
+1 dlax<0
3x
2
+adlax0
, d)f(x)=
(
x
|x|
dlax6=0
a dlax=0
,
8
>
<
x
2
+b dlax>2
2a−1dlax=2
x
2
+x−6
(
p
sin
2
2x
2x
dlax6=0
e)f(x)=
>
:
, f)f(x)=
a dlax=0
.
2−x
dlax<2
13.Pokaza¢,»efunkcjaspe“niaj¡cawarunekLipschitza:
9
C
8
x,x
0
2
R
|f(x)−f(x
0
)|C|x−x
0
|
jestci¡g“a.
14.Pokaza¢,»ewarunekLipschitzaimplikujejednostajn¡ci¡g“o–¢,ajedno-
stajnaci¡g“o–¢implikujeci¡g“o–¢funkcji.
15.Sprawdzi¢jednostajn¡ci¡g“o–¢nastƒpuj¡cychfunkcji:
a)f:[0;1)−!R,f(x)=
p
x;
b)f:R−!R;f(x)=x
2
;
c)f:[−a;a]−!R;f(x)=x
2
,a>0;
d)f:(0;1]−!R;f(x)=
1
x
;
e)f:(0;1]−!R;f(x)=sin
1
x
.
16.Sprawdzi¢,czyfunkcjaspe“niawarunekLipschitza:
a)f:[0;1]−!R;f(x)=
p
x;
b)f:[1;1)−!R;f(x)=
p
x.
17.Pokaza¢zde
nicjiCauchy’ego,»e:
a)lim
x!0
p
x=0;
b)lim
x!x
0
p
x=
p
x
0
;
18.Znale„¢limsup
x!0
f(x)iliminf
x!0
f(x),je–li:
a)f(x)=sin
1
x
;
b)f(x)=
1
x
2
sin
2
1
x
.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]