(2386) matematyka3 szeregi liczbowe, Studia, MECHANIKA I BUDOWA MASZYN, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Szeregiliczbowe
mgrZofiaMakara
9lipca2004
1Szeregiliczbowe-wprowadzenie
Definicja1
Szeregliczbowy(niesko«czonyszeregliczbowy)jestsum¡ele-
mentówci¡guliczbowego:
1
X
a
n
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
+
...,
n
=1
gdziea
1
,a
2
,...,a
n
s¡wyrazamiszeregu.
Je±lielementyci¡gu
a
i
2
R
,dla1
¬
i
¬
n
s¡liczbamirzeczywistymi,to
szeregnazywasi¦szeregiemliczbowymrzeczywistym.
Sum¡cz¦±ciow¡nazywasi¦sum¦:
S
n
=
n
X
a
i
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
,
i
=1
Wi¦c
{
S
n
}
jestci¡giemsumcz¦±ciowychszeregu
P
1
n
=1
a
n
,takim,»e:
S
1
=
a
1
;
S
2
=
a
1
+
a
2
;
S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
;
...
S
n
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
;
...
Definicja2
Szeregliczbowy
P
1
n
=1
a
n
nazywasi¦zbie»nym(zbie»nymdo
S
2
R)je±lici¡gsumcz¦±ciowychjestzbie»ny:
1
X
a
n
=lim
n
!1
S
n
=lim
n
X
a
i
=
S
n
!1
n
=1
i
=1
1
Definicja3
Szeregliczbowynazywasi¦rozbie»nymje±liniejestszeregiem
zbie»nym.
Twierdzenie1
Warunkiemkoniecznymzbie»no±cika»degoszeregu
1
X
a
n
n
=1
jest:
n
!1
a
n
=0
Coł¡twowykaza¢,bo:
a
n
=
S
n
−
S
n
−
1
Wi¦c:
lim
n
!1
a
n
=lim
n
!1
(
S
n
−
S
n
−
1
)=lim
n
!1
S
n
−
lim
n
!1
S
n
−
1
=0
−
0=0
.
Twierdzenie2
Je±łidanyjestszereg
P
1
n
=1
a
n
istałac,toje±liszereg
Cołatwowykaza¢,boje±li:
P
1
n
=1
a
n
=
S
to:
P
1
n
=1
c
·
a
n
=
c
P
1
n
=1
a
n
=
cS
Twierdzenie3
Je±lidanyjestszereg
P
1
n
=1
a
n
istałac
6
=0
,toje±liszereg
toszereg
P
1
n
=1
(
a
n
+
b
n
)
te»jestzbie»ny.
Cołatwowykaza¢,boje±li:
P
1
n
=1
b
n
=
T
to:
P
1
n
=1
(
a
n
+
b
n
)=
P
1
n
=1
a
n
+
P
1
n
=1
b
n
=
S
+
T
Twierdzenie5
Je±lidanes¡szeregi
P
1
n
=1
a
n
i
P
1
n
=1
b
n
,toje±lis¡zbie»ne
toszereg
P
1
n
=1
(
a
n
−
b
n
)
te»jestzbie»ny.
P
1
n
=1
b
n
=
T
to:
P
1
n
=1
(
a
n
−
b
n
)=
P
1
n
=1
a
n
−
P
1
n
=1
b
n
=
S
−
T
2
lim
P
1
n
=1
a
n
jestzbie»ny,torównie»
P
1
n
=1
c
·
a
n
jestzbie»ny.
P
1
n
=1
a
n
jestrozbie»ny,torównie»
P
1
n
=1
c
·
a
n
jestrozbie»ny.
Twierdzenie4
Je±lidanes¡szeregi
P
1
n
=1
a
n
i
P
1
n
=1
b
n
,toje±lis¡zbie»ne
P
1
n
=1
a
n
=
S
Cołatwowykaza¢,boje±li:
P
1
n
=1
a
n
=
S
2Wybranerodzajeszeregów
Podczasbadaniazbie»no±ciszeregówrozró»niasi¦”dwiekategorie”szere-
gów:
1.owyrazachnieujemnych,czyli:
8
0
¬
i
¬
n
a
i
0;
2.szeregiprzemienne,czylitakie,którychwyrazynaprzemians¡ujemne
idodatnie:
8
0
¬
i
¬
(
n
−
1)
a
i
·
a
i
+1
<
0;
S¡oczywi±cieszeregi,którenienale»¡do»adnejztychgrup.
2.1Szeregarytmetyczny
1
X
a
1
+(
n
−
1)
·
r
n
=1
jestzawszerozbie»ny.Nietrudnozauwa»y¢,»eje±li:
•
a
0i
r
0,toszeregrozbie»nydo+
1
;
•
a
¬
0i
r
¬
0,toszeregrozbie»nydo
−1
;
•
a
0i
r
¬
0,wówczassko«czonailo±¢wyrazówjestdodatniaiszereg
rozbie»nydo
−1
;
•
a
¬
0i
r
0,wówczassko«czonailo±¢wyrazówjestujemnaiszereg
rozbie»nydo+
1
;
2.2Szereggeometryczny
1
X
a
1
·
q
n
−
1
n
=1
jestrozbie»nydla
|
q
|
>
1,boniespełniawarunkukoniecznego.Je±liza±
|
q
|
<
1,wówczasszeregjestzbie»nydo
S
=
a
1
−
q
.
Mo»natowykaza¢:
S
n
=
a
+
aq
+
aq
2
+
...
+
aq
n
−
1
qS
n
=
aq
+
aq
2
+
...
+
aq
n
−
1
+
aq
n
S
n
−
qS
n
=
a
−
aq
n
3
St¡d
S
n
(1
−
q
)=
a
(1
−
q
n
)
Codaje:
S
n
=
a
(1
−
q
n
)
1
−
q
Czyli:
a
(1
−
q
n
)
1
−
q
=
a
S
=lim
n
!1
S
n
=lim
1
−
q
.
n
!1
2.3Szeregharmoniczny
1
X
1
n
n
=1
jestrozbie»nydo+
1
,como»naudowodni¢wprowadzaj¡cpoj¦ciereszty
R
n
szeregu:
1
X
n
X
1
X
a
n
=
a
i
+
a
i
=
S
n
+
R
n
n
=1
i
=1
i
=
n
+1
St¡d:
n
!1
(
S
−
S
n
)=0
.
Obliczaj¡creszt¦szereguharmonicznego,któranied¡»ydo0(
R>
1
2
),
stwierdzasi¦,»eszeregjestrozbie»nydo+
1
.
R
=lim
n
!1
R
n
=lim
2.4Szeregharmonicznyrz¦du
1
X
1
n
n
=1
jestszeregiemzbie»nymdla
>
1,za±rozbie»nymdla
=1,cowynikaz
poprzedniegopodpunktuirozbie»nymdla
<
1,boniespełniawarunku
koniecznego.
3Kryteriazbie»no±ciszeregów
a
n
elementówdanegoszeregu
P
1
n
=1
a
n
,odpewnegomiejsca
i
,
gdzie
i
1jestzawsze:
•
mniejszyodpewnejstałej
p<
1toszeregjestzbie»ny;
•
wi¦kszylubrównypewnejstałej
p
1toszeregjestrozbie»ny;
4
3.1Kryteriumd’Alembertazbie»no±ciszeregów
Je±liiloraz
a
n
+1
a
n
<
1,szeregzbie»ny;
•
lim
n
!1
a
n
+
a
n
>
1,szeregrozbie»ny;
•
lim
n
!1
a
n
+
a
n
=1,zbie»no±¢/rozbie»no±¢szereguniejestznana(nale»y
zastosowa¢innekryteriumbadaniazbie»no±ci);
Przykład1
Zbada¢zbie»no±¢szeregu:
1
X
n
10
10
n
.
n
=1
Rozwi¡zanie:
lim
n
!1
(
n
+1)
10
10
n
+1
n
1
0
10
n
=lim
n
!1
(
n
+1)
10
10
n
+1
·
10
n
n
10
=lim
10
·
(
n
+1
n
)
10
=
1
10
.
n
!1
Szeregzbie»ny.
3.2KryteriumCauchy’egozbie»no±ciszeregów
Je±lin-typierwiastekz
a
n
n
p
a
n
elementudanegoszeregu
P
1
n
=1
a
n
,(dlapra-
wiewszystkichwyrazówci¡gu,zawyj¡tkiemconajwy»ejsko«czonejilo±ci)
jestzawsze:
•
mniejszyodpewnejstałej
p<
1toszeregjestzbie»ny;
•
wi¦kszylubrównypewnejstałej
p
1toszeregjestrozbie»ny;
Wnioski:
•
lim
n
!1
n
p
a
n
<
1,szeregzbie»ny;
•
lim
n
!1
n
p
a
n
>
1,szeregrozbie»ny;
•
lim
n
!1
n
p
a
n
=1,zbie»no±¢/rozbie»no±¢szereguniejestznana(nale»y
zastosowa¢innekryteriumbadaniazbie»no±ci);
Uwaga1
KryteriumCauchy’egojestsilniejszeni»kryteriumd’Amberta.
Przykład2
Zbada¢zbie»no±¢szeregu:
1
X
log
n
2
n
.
n
=1
Rozwi¡zanie:
s
lim
n
!1
n
2
n
=
1
2
lim
n
p
log
n
=
1
2
.
n
!1
Szeregzbie»ny.
5
Wnioski:
•
lim
n
!1
a
n
+1
1
log
n
[ Pobierz całość w formacie PDF ]