Łuk swobodnie podparty obciążony prostopadle do swojej płaszczyzny, Budownictwo Studia, Mechanika(1)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przykład 10.5. Łuk swobodnie podparty obciążony prostopadle do swojej
płaszczyzny.
Rysunek 10.5.1. przedstawia belkę łukową, ciągłą, podpartą i obciążoną przestrzennie.
Kierunek obciążenia jest prostopadły do płaszczyzny łuku. Obciążenie jest równomiernie
rozłożone na połowie łuku. Ma stałą gęstość q przypadającą na jednostkę długości łuku.
Narysować wykresy momentów gnących, sił normalnych i sił tnących w każdym punkcie osi
łuku.
z
y
A
C
B
x
Rysunek 10.5.1. Rysunek aksonometryczny: belka łukowa, ciągła, podparta i obciążona
przestrzennie. Obciążenie przedstawione jako ścianka wybudowana na części łuku,
schematycznie uniesiona nad jego poziom dla lepszej widoczności. Podpory wyobrażone są
jako pręty dwuprzegubowe, nieskończenie sztywne, przenoszące jedynie siłę osiową, w tym
wypadku - składową reakcji. Trzy pręty połączone w punkcie A są więc odpowiednikiem
podpory nieprzesuwnej, dwa pręty w punkcie B definiują podporę przesuwną w kierunku
x
,
zaś pręt w punkcie C określa podparcie przesuwne w płaszczyźnie
xy
zaś nieprzesuwne w
kierunku
z
.
z
τ b
q
y
H
AX
A
C
P
n
H
AY
V
A
V
C
α
B
x
H
BY
V
B
Rysunek 10.5.2. Łuk uwolniony myślowo od więzów. Układy współrzędnych, przyjęte
zwroty reakcji oraz oznaczenia punktów używane w obliczeniach.
Rozwiązanie.
Analiza obciążenia
Obciążenie przedstawione na rysunku to obciążenie równomierne „na jednostkę długości
łuku”. Wypadkowa elementarna
qdl
jest wektorem równoległym do osi z. Jak w poprzednich
zadaniach, wypadkowa elementarna jest przyłożona do łuku w punkcie P określonym kątem
α w cylindrycznym układzie współrzędnych α,r,z, jednak wypadkowa obciążenia
przypadającego na pewien odcinek łukowy – przyłożona jest w środku ciężkości tego
odcinka. Obliczmy wypadkową obciążenia na ćwiartce CB łuku (jej znajomość jest przydatna
do kontroli wyników lub do obliczania reakcji, w dalszym ciągu rozwiązania nie będziemy
jednak wykorzystywali bezpośrednio wyników zapisanych równaniami (1-3), pozostawiając
czytelnikowi użycie ich do skontrolowania wartości sił wewnętrznych w punktach
charakterystycznych)
G
π
/
2
π
(1)
dQ
=
qRd
q
dl
=
α
Q
=
Q
≡
Q
=
∫
qRd
α
=
qR
Q
=
Q
=
0
z
x
y
2
0
Współrzędne punktu przyłożenia wypadkowej
x
Q
i
y
Q
obliczymy posługując się wzorem
wyprowadzonym na wykładzie z Mechaniki dotyczącym układu sił równoległych:
π
/
2
π
/
2
∫
qdl
R
cos
α
∫
q
R
2
cos
α
d
α
2
R
2
R
(2)
x
Q
=
0
=
0
=
y
Q
=
Q
π
qR
2
π
π
2
Obliczenie reakcji
Kierunki i zwroty wektorów sił założone są wstępnie jak na rysunku 10.5.2, w równaniach
poniżej występują tylko ich długości. Reakcje obliczymy pisząc takie równania równowagi,
że w każdym z nich wystąpi tylko jedna niewiadoma reakcja. Pozwoli to na obliczenie tej
reakcji z zapisanego równania.
Aby obliczyć
V
C
zapisano sumę momentów względem osi x:
π
/
2
π
/
2
(3)
−
V
C
R
+
∫
qRd
α
R
sin
α
=
0
−
V
C
R
+
qR
2
∫
sin
α
d
α
=
0
V
C
=qR
0
0
Aby obliczyć
V
B
zapisano sumę momentów względem osi równoległej do y i poprowadzonej
przez punkt A:
π
/
2
π
/
2
(4)
(
)
0
( )
0
−
V
2
R
−
V
R
+
∫
qRd
α
R
+
R
cos
α
=
−
V
2
R
−
V
R
+
qR
2
∫
1
+
cos
α
d
α
=
B
C
B
C
0
0
−
2
V
−
V
+
qR
( )
0
+
π
/
2
=
V
=
π
qR
=
0
7854
qR
(5)
B
C
B
4
Suma rzutów na oś pionową pozwala obliczyć V
A
(wykorzystano tu (1),(3) i (5)):
V
+
V
+
V
−
π
qR
=
0
V
=
qR
π
−
1
=
−
0
2146
qR
(6)
A
B
C
2
A
4
Należy zauważyć, że reakcja w punkcie A jest skierowana przeciwnie niż założono (wskazuje
na to jej ujemna wartość). Mimo to, w dalszych wzorach będzie ona zawsze występowała z
takim znakiem jaki nakazuje założenie o jej kierunku z Rys. 10.5.2.
Pozostałe reakcje są oczywiście zerowe, co łatwo samodzielnie wykazać.
Zapisanie równań sił wewnętrznych
Wprowadźmy oś normalną
n
, styczną τ i binormalną
b
(normalna do płaszczyzny łuku) w
dowolnym przekroju π wyznaczonym punktem P na osi łuku. Osie te zaznaczono na
Rysunku 10.5.2. Oś
n
tworzy z osią x kąt α, który został wybrany jako zmienna niezależna.
Wektor siły przekrojowej rozłożymy na trzy składowe na osiach lokalnego układu
współrzędnych
n
,τ,
b
. Jej składowa na osi τ to siła normalna
N
, na osi
n
to tnąca
T
n
, na osi
b
–
tnąca
T
b
(poprzeczna).
Siłę normalną i siły tnące będziemy obliczali jako rzuty na oś styczną τ
(tnące - odpowiednio
na oś normalną
n
i
b
) wypadkowej wszystkich sił po prawej stronie przekroju π,
zredukowanej do punktu P (P jest biegunem redukcji).
Moment przekrojowy
M
rozłożymy na trzy składowe: Moment skręcający
M
s
– rzut
M
na oś
τ, moment gnący
M
b
– rzut
M
na oś
b
oraz moment gnący poprzeczny
M
n
– rzut
M
na oś
n
.
Zauważmy, że we wszystkich zadaniach płaskich 10.1. do 10.4. występował jedynie moment
M
b
, mimo, że oś
b
nie została tam wyraźnie zdefiniowana.
Moment skręcający wyznaczymy jako moment wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,
otrzymany przy ich redukcji do punktu P (moment jest obliczony względem osi τ
przechodzącej przez P).
Momenty gnące wyznaczymy jako momenty wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,
otrzymane przy ich redukcji do punktu P (momenty te są obliczane następujące:
M
b
– wokół
osi
b
poprowadzonej przez P,
M
n
– wokół osi
n
poprowadzonej w punkcie P).
3
1
Zapis równań dla sił normalnych i tnących
Ponieważ wszystkie siły na prawo od P (na lewo także...) są prostopadłe do
n
oraz do τ więc
Siły normalne i tnące
T
n
są równe zeru na całym łuku. Pozostaje do określenia zmienność
tnącej poprzecznej
T
b
w funkcji kąta α.
Równanie (7) jest zapisem rzutu reakcji V
B
i sumy rzutów (całki) wszystkich elementarnych
wypadkowych
dQ=qRd
ϕ pomiędzy zerem (punkt B) a wartością bieżącą zmiennej
niezależnej α - na oś binormalną
b
(siły tnącej poprzecznej
T
b
). Jest ono ważne tylko dla
α mniejszego niż π/2. Dla siły tnącej poprzecznej przyjęto znak „+” gdy jej rzut jest
skierowany z lewej strony przekroju od dołu do góry lub z prawej od góry do dołu. Znak „–„
w sytuacji odwrotnej.
()
α
()
π
(7)
T
α
=
−
V
+
∫
qRd
ϕ
T
α
=
qR
α
−
dla α< π/2
BC
B
BC
4
0
Dla α większego niż π/2 pojawia się dodatkowo reakcja w punkcie C, który teraz jest na
prawo od przekroju P:
π
/
2
()
π
(8)
()
T
α
=
−
V
−
V
+
∫
qRd
ϕ
T
α
=
qR
−
1
dla α>π/2
CA
B
C
CA
4
0
Podsumowując, zapiszemy tnące poprzeczne w dwu przedziałach:
T
()
α
=
T
BC
()
()
α
dla
0
≤
α
<
π
/
2
(9)
T
α
dla
π
/
2
≤
α
<
π
CA
Wykresy tnącej poprzecznej
T
b
jako funkcji kąta α odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
Rysunek 10.5.3. Wykres tnącej poprzecznej
T
b
jako funkcji kąta α
1
odkładanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt α
1
jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt α kątem -α+π). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
α
1
. Podpora A wypada w zerze, B - dla α
1
=π.
4
Zapis równania dla momentu skręcającego
Wszystkie oznaczenia potrzebne do obliczenia momentu elementarnej wypadkowej pionowej
względem lokalnych osi stycznej i normalnej podane są na Rys.10.5.4. Zaznaczono też na
nim odpowiednie kąty i odległości pojawiające się we wzorach poniżej.
n
P
C
Ms
d
ϕ
α
Mn
α−ϕ
qRd
ϕ
ϕ
A
B
Rysunek 10.5.4. Rzut łuku. Układy współrzędnych, przyjęte zwroty momentów oraz
oznaczenia wielkości używane w obliczeniach.
Moment wszystkich sił na prawo od P obliczony wokół osi τ poprowadzonej przez punkt P
zapisuje się następująco (znaki dodatnie gdy wektor momentu skierowany jest od przekroju):
α
(10)
() ( )
(
( )
)
Ms
BC
α
=
−
V
B
R
−
R
cos
α
+
∫
R
−
R
cos
α
−
ϕ
qRd
ϕ
0
po prostych przekształceniach otrzymuje się:
Ms
BC
() (
=
1
2
qR
π
cos
α
−
π
+
4
α
−
4
sin
α
)
(11)
4
Kiedy punkt P znajdzie się na lewo od punktu C, moment wszystkich sił po prawej stronie
punktu P będzie zawierał dodatkowo reakcje w punkcie C. Aby uniknąć tej dodatkowej siły w
równaniu określmy kąt γ liczony od punktu A zgodnie z ruchem wskazówek zegara i
obliczmy moment wszystkich sił na lewo od P obliczony względem osi τ poprowadzonej
przez punkt P w funkcji kąta γ. Tak jest łatwiej gdyż po lewej stronie uwzględniamy tylko
reakcję
V
A
:
Ms
() ( )
α
=
V
R
−
R
cos
γ
=
qR
π
−
1
(
R
−
R
cos
γ
)
(12)
AC
A
4
Zestawienie wzorów dla dwu odcinków łuku podano poniżej:
Ms
()
=
Ms
()
( )
α
dla
0
dla
≤
α
<
π
/
2
(13)
Ms
−
α
+
π
π
/
2
≤
α
<
π
AC
5
α
BC
α
[ Pobierz całość w formacie PDF ]