Ściąga, szkola, Mechanika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
M e c h a n i k a
S t r o n a
|
1
P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a
MECHANIKA
Mechanika ogólna
zajmuje się ustalaniem ogólnych praw ruchu uproszczonych (wyidealizowanych)
modeli ciał rzeczywistych, zwanych modelami mechanicznymi.
Punkt materialny
jest to ciało materialne, którego wymiary geometryczne mogą być zaniedbane w
porównaniu z innymi wymiarami występującymi w danym zagadnieniu. Innymi słowy jest to punkt
geometryczny obdarzony masą.
Układ punktów materialnych
jest to zbiór punktów materialnych.
Bryła sztywna
jest to ciało materialne, którego kształt i wymiary nie ulegają zmianie pod działaniem
sił.
Mechanikę dzielimy na trzy działy:
Statyka
– zajmuje się stanem spoczynku ciał materialnych. Stan taki występuje wtedy, kiedy
wszystkie siły działające na ciała materialne się równowaŜą albo gdy istnieją przeszkody
uniemoŜliwiające ruch tych ciał pod działaniem sił.
Kinematyka
– zajmuje się ruchem ciał materialnych bez uwzględnienia przyczyn wywołujących
ten ruch. Wynika z tego, Ŝe kinematyka zajmuje się matematycznym opisem ruchu bez
uwzględniania praw fizycznych.
Dynamika
– zajmuje się ruchem ciał materialnych pod wpływem sił działających na te ciała.
Prawa Newtona:
1.
(prawo bezwładności) - Punkt materialny, na który nie działa Ŝadna siłą lub działające siły
się równowaŜą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii
prostej.
2.
Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i
ma kierunek siły.
F
m
=
a
3.
(prawo akcji i reakcji) - Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych
mają jednakowe wartości, leŜą na prostej łączącej te punkty i są przeciwstawnie
skierowane.
4.
(zasada superpozycji) - JeŜeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to kaŜda z
nich działa niezaleŜnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak jedna siła równa
wektorowej sumie danych sił.
5.
(prawo powszechnego ciąŜenia lub prawo grawitacji) - KaŜde dwa punkty materialne o
masach m
1
i m
2
przyciągają się z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i
odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leŜy na
prostej łączącej te punkty.
F
=
k
m
1
r
m
2
2
Wektory
dzielimy na:
a)
zaczepione
– wymagają do ich określenia wszystkich czterech (wartość [moduł], kierunek,
zwrot, punkt przyłoŜenia). Wektorów takich nie moŜna przemieszczać ani przesuwać.
b)
przesuwne
– są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania. Takie wektory mogą
być przesuwane jedynie wzdłuŜ prostych, na których leŜą.
c)
swobodne
– są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy do ich linii działania.
Oznacza to, Ŝe wektor swobodny moŜna dowolnie przemieszczać, równolegle do kierunku
jego działania.
M e c h a n i k a
S t r o n a
|
2
P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a
STATYKA
Aksjomaty
lub inaczej
zasady statyki
:
a)
PrzyłoŜenie dwóch sił do ciała sztywnego, równych co do modułu, działających wzdłuŜ jednej
prostej i o przeciwnych zwrotach, nie zmienia stanu ruchu ciała (ciało w spoczynku pozostaje
w spoczynku)
b)
KaŜdą siłę zewnętrzną przyłoŜoną do ciała sztywnego moŜna przesunąć wzdłuŜ jej linii
działania, nie zmieniając przy tym stanu ruchu ciała.
c)
Do kaŜdego układu sił działających na ciało sztywne moŜna dodać bez zmiany stanu jego
ruchu kilka sił o wspólnym punkcie przyłoŜenia, których suma wektorowa jest równa zeru.
d)
Stan ruchu ciała nie ulegnie zmianie, jeŜeli kilka sił zaczepionych w jednym punkcie
zastąpimy ich sumą geometryczną, i odwrotnie, gdy jedną siłę zastąpimy przez kilka sił,
których suma geometryczna jest równa tej sile.
Warunek konieczny równowagi dowolnego układu materialnego:
Aby dowolny układ materialny mógł być w równowadze, suma wszystkich sił zewnętrznych
działających na niego musi być równa zeru.
Warunki równowagi zbieŜnego układu sił
1.
Przestrzenny układ sił:
Aby przestrzenny układ sił zbieŜnych był w równowadze, warunkiem koniecznym jest, aby
suma wektorowa tego układu sił była równa zeru.
∑
=
n
P
=
0
lub:
k
1
∑
=
n
∑
=
n
∑
=
n
P
kx
=
0
P
=
0
P
=
0
k
1
k
1
k
1
2.
Płaski układ sił:
a.
Aby płaski układ sił zbieŜnych był w równowadze, warunkiem koniecznym i
wystarczającym jest, by sumy rzutów tych sił na dwie osie układu współrzędnych
były równe zeru.
∑
=
n
P
=
0
k
1
b.
Aby płaski układ sił zbieŜnych był w równowadze, zbudowany z nich wielobok sił
musi być wielobokiem zamkniętym.
Twierdzenie o trzech siłach
JeŜeli ciało sztywne jest w równowadze pod działaniem trzech nierównoległych sił leŜących w jednej
płaszczyźnie, to linie działania tych sił muszą przecinać się w jednym punkcie, a siły tworzyć trójkąt
zamknięty.
Twierdzenie o momencie wypadkowej
(Twierdzenie Varignona)
Moment wypadkowej układu sił względem dowolnego punktu jest równy sumie momentów sił
składowych względem tego samego punktu.
∑
=
n
W
=
P
k
1
PARA SIŁ
Para sił
– jest to układ dwóch równoległych sił o równych modułach i
przeciwnych zwrotach.
P
P'
ky
kz
M e c h a n i k a
S t r o n a
|
3
P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a
Równanie pary sił
:
M
=
Wektor momentu pary sił jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił, a jego zwrot określa
regułą śruby prawoskrętnej.
Własności pary sił
:
1.
Dwie pary sił leŜące na tej samej płaszczyźnie są
równowaŜne, gdy mają równe momenty:
P
1
h
1
= P
2
h
2
2.
Parę sił moŜna przesuwać po dowolnej płaszczyźnie
równoległej do jej płaszczyzny działania
3.
Pary sił działające w jednej płaszczyźnie moŜna zastąpić parą wypadkową o momencie M,
którego wartość jest równa sumie algebraicznej wartości momentów poszczególnych par:
∑
=
n
M
=
M
k
k
1
4.
Układ n par sił o róŜnych płaszczyznach działania i o momencie M
k
moŜna zastąpić parą
równowaŜną o momencie równym sumie geometrycznej momentów par składowych:
∑
=
n
M
=
M
k
k
1
Ostatnia własność pozwala sformułować
warunek równowagi par sił
działających na ciało sztywne
w róŜnych płaszczyznach:
Aby pary sił działające na ciało sztywne w róŜnych płaszczyznach znajdowały się w równowadze,
suma geometryczna momentów tych par musi być równa zeru.
∑
=
n
M
k
=
0
k
1
DOWOLNY UKŁAD SIŁ
Wektorem głównym
układu sił nazywamy sumę geometryczną wszystkich sił przyłoŜoną w dowolnie
obranym biegunie redukcji O:
∑
=
n
W
=
P
k
1
Momentem głównym
układu sił względem bieguna redukcji O nazywamy sumę geometryczną
momentów wszystkich sił względem tego bieguna:
∑
=
n
M
=
r
×
P
O
k
k
k
1
Dowolny układ sił działających na ciało sztywne moŜna zastąpić układem równowaŜnym składającym
się z jednej siły
W
przyłoŜonej w dowolnie obranym biegunie redukcji) oraz pary sił o momencie
M
.
Twierdzenie o momencie głównym.
Moment główny dowolnego układu sił względem dowolnego bieguna O’ jest równy momentowi
głównemu względem innego dowolnego bieguna O powiększonemu o moment wektora przyłoŜonego
w biegunie O względem bieguna O’.
Moduł momentu pary sił moŜemy zapisać jako:
Ph
M e c h a n i k a
S t r o n a
|
4
P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a
Warunki równowagi dowolnego układu sił:
1.
Aby dowolny układ sił był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest,
by suma sił i suma momentów względem dowolnego punktu były równe zeru.
2.
Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie
układu współrzędnych oraz sumy momentów wszystkich sił względem tych osi muszą być
równe zeru.
Skrętnikiem
nazywamy układ składający się z siły
W
i pary sił o momencie
S
M
równoległym do siły
W
.
Warunki równowagi płaskiego układu sił:
1.
Aby płaski dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na dwie
osie układu współrzędnych i suma momentów tych sił względem dowolnego punktu
płaszczyzny działania sił muszą być równe zeru.
2.
Płaski układ sił jest w równowadze, jeŜeli sumy momentów wszystkich sił względem
trzech punktów nie leŜących na jednej prostej są równe zeru.
RÓWNOLEGŁY UKŁAD SIŁ
Środek układu sił równoległych
– punkt przez który przechodzi wypadkowa układu sił równoległych o
określonych punktach przyłoŜenia, niezaleŜnie od ich kierunku.
Warunki równowagi układu sił równoległych.
Układ sił równoległych jest szczególnym przypadkiem dowolnego układu sił. Z tego względu warunki
równowagi przestrzennego układu sił równoległych wyznaczamy na podstawie warunków równowagi
dowolnego układu sił.
ŚRODEK CIĘśKOŚCI
Środek cięŜkości
jest to punkt połoŜenia wypadkowej siły cięŜkości układu lub ciała materialnego.
Dla układy punktów materialnych:
Wektor wodzący
r
środka cięŜkości C:
∑
=
n
r
k
m
k
r
=
k
1
C
m
Współrzędne środka cięŜkości C w prostokątnym układzie współrzędnych:
∑
=
n
∑
=
n
∑
=
n
x
m
y
m
z
m
k
k
k
k
k
k
x
=
k
1
y
=
k
1
z
=
k
1
C
m
C
m
C
m
Dla ciał o ciągłym rozmieszczeniu masy:
Wektor wodzący środka cięŜkości:
∫
r
dm
r
=
m
C
m
M e c h a n i k a
S t r o n a
|
5
P o l i t e c h n i k a P o z n a ń s k a
Współrzędne prostokątne środka cięŜkości:
∫
x
dm
∫
y
dm
∫
z
dm
x
=
m
y
=
m
z
=
m
C
m
C
m
C
m
JeŜeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek cięŜkości będzie leŜał na
płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii.
Środek cięŜkości powierzchni jednorodnej.
∫
x
dF
∫
y
dF
∫
z
dF
x
=
F
y
=
F
z
=
F
C
F
C
F
C
F
Występujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi na całą
powierzchnię F.
Środek cięŜkości linii jednorodnej.
∫
x
dL
∫
y
dL
∫
z
dL
x
=
L
y
=
L
z
=
L
C
L
C
L
C
L
gdzie L jest długością linii.
Twierdzenie Pappusa-Guldina
1.
Pole powierzchni F, powstałej poprzez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości L
dookoła osi leŜącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii
pomnoŜonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek cięŜkości:
L
=
gdzie
h
jest odległością środka cięŜkości linii od osi obrotu.
F
2
h
C
2.
Objętość bryły V, powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi leŜącej w
płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni figury
pomnoŜonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek cięŜkości:
F
V
=
2
h
C
przy czym
h
jest tutaj odległością środka cięŜkości figury od osi obrotu.
MOMENTY STATYCZNE MAS
Momentem statycznym
S
układu punktów materialnych względem dowolnego punktu O nazywamy
sumę iloczynów mas
m
przez ich promienie wodzące
r
.
∑
=
n
S
=
r
k
m
k
k
1
Wektor
S
moŜna wyrazić równieŜ jako:
∑
∑
n
∑
n
n
S
=
x
k
m
k
i
+
y
k
m
k
j
+
z
k
m
k
k
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Współrzędne tego wektora nazywamy
momentami statycznymi względem płaszczyzn yz, zx, xy
, które
oznaczamy odpowiednio przez S
yz
, S
zx
i S
xy
.
∑
=
n
∑
=
n
∑
=
n
S
yz
=
x
k
m
k
S
zx
=
y
k
m
k
S
xy
=
z
k
m
k
k
1
k
1
k
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]