ściąga MO, Studia, metody obliczeniowe, metody ozee, ściągi made by me
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
METODA PRZEMIESZCZEŃ
Zasady metody przemieszczeń: stan geometryczny układu
prętowego można określic poprzez kąty obrotu węzłów
swobodnych i ich przemieszczenia. Wielkości te stanowią
tzw. niewiadome geometryczne. Niewiadome te są
ulokowane w wektorze przemieszczeń układu q. W
metodzie przemieszczeń pomijamy odkształcalnosc
podłużną prętów (element pod wpływem obciążenia nie
zmienia swojej długości). Liczba niewiadomych
geometrycznych określa stopień geometrycznej
niewyznaczalności.
Dyskretyzacja
prętowego układu
konstrukcyjnego: podział układu na zbiór węzłów i
elementów. Z węzłami związany jest wektor
przemieszczeń (S) i wektor obciążeń (R) węzłowych, a z
elementem związany jest wektor przemieszczeń (Dj) i
wektor obciążeń (Sj) elementowych. Przy podziale układu
na elementy spotykamy problem wyboru elementu zależny
od typu rozwiązywanego układu. Istotna jest liczba
stopni
swobody
w węźle- liczba niewiadomych: kratownice
płaskie-2 st. swobody, kratownice przestrzenne, ruszty
załamane w planie, ramy płaskie-3 st. swobody, ramy
przestrzenne-6 st. swobody.
Macierz sztywności
to
macierz zawierająca reakcje w założonych więzach od
danego stanu przemieszczenia jednostkowego,
macierz
podatności
zawiera przemieszczenia od danego
jednostkowego obciążenia. Pomiędzy wektorami q i R
istnieje zależnośc, którą można zapisac macierz
sztywności: q=K^(-1)*R. W układach geometrycznie
niezmiennych macierz sztywności K jest macierzą
nieosobliwą, oznacza to że jej wyznacznik jest różny od
zera. Istnieje zależnośc pozwalająca na uzyskanie
macierzy podatności wykorzystując macierz sztywności,
przy tym macierz K musi być nieosobliwa K^(-1)=F,
gdzie F jest macierzą podatności układu. Macierz
sztywności musi być macierzą symetryczną (wynika to z
twierdzenia o wzajemności przemieszczeń). Macierz
sztywności pojedynczego elementu jest macierzą osobliwą
oznacza to że jej wyznacznik jest równy zero. Macierz K
wyznaczamy metodą jednostkowych stanów
przemieszczeń, lub korzystamy z zależności od F a F
wyznaczamy metodą jednostkowych stanów obciążeń co
jest bardziej opłacalne no w układach statycznie
niewyznaczalnych. Macierz sztywności
elementu
kratowego
zawiera w każdym wyrazie element EA/l,
wektor S zawiera siły normalne, nie występują kąty obrotu
oraz przemieszczenia prostopadłe do elementu, wektor D
zawiera przemieszczenia równoległe do elementu. Macierz
sztywności
elementu belkowego
: przemieszczenia w
dowolnym punkcie można zapisac wielomianem 3 stopnia.
Wektor S może zawierac siły normalne, prostopadłe oraz
momenty, wektor D może zawierac przemieszczenia
równoległe i prostopadłe oraz kąty obrotu.
Konsolidacją
nazywamy proces zmiany równań dla pręta
podstawowego w układzie równań dla pręta z przegubem.
Modyfikacja macierzy sztywności
to uwzględnienie
warunków podporowych. Zakładamy że pewne
przemieszczenia węzłowe są równe 0 i modyfikujemy
macierz poprzez wykreślenie wierszy i kolumn przy
odpowiadających im zerowych przemieszczeniach. Gdy
mamy do czynienia z
podporą sprężystą
to dodajemy
element Ks (sztywnośc) do wyrazu na głównej przekątnej
macierzy w wierszu i kolumnie odpowiadającej danemu
stopniu swobody.
Transformacja
układu współrzędnych: macierzowe
równanie równowagi, a co za tym idzie macierz
sztywności elementu jest zapisywana w lokalnym układzie
współrzędnych. Ponieważ równanie równowagi ma być
zapisane we wszystkich węzłach i obowiązywac dla
całego układu istnieje potrzeba wprowadzenia globalnego
układu współrzędnych i zapisania równań w tym układzie.
Zmiana układu lokalnego na globalny na poziomie
elementu wiąże się z transformacją macierzy sztywności i
wektora obciążeń. Macierz T jest macierzą transformacji
zawierającą w każdym elemencie cosinus (x,X),(x,Y),
(x,Z) w pierwszym wierszu i analogicznie cos(y,X)... w
drugim i trzecim. T jest macierzą ortogonalną.
Wektor alokacji
: wektor zawierający adresy
poszczególnych przemieszczeń lokalnych, wiąże ze sobą
przemieszczenia.
Agregacja
: składanie macierzy
sztywności układu z macierzy sztywności poszczególnych
elementów.
Algorytm rozwiązania
: a) wykonanie
dyskretyzacji układu (podział na elementy) b) ustalenie jak
będzie wyglądał wektor przemieszczeń globalnych q oraz
sił węzłowych c) przyporządkowanie przemieszczeniom
przywęzłowym poszczególnych elementów numeracji
globalnej- utworzenie wektorów alokacji elementów d)
utworzenie macierzy sztywności elementów na poziomie
lokalnym o wymiarze 4x4 e) agregacja macierzy
sztywności do układu globalnego f) wektor obciążeń
węzłowych układu g) wektory wyjściowych sił
przywęzłowych od obciążeń przęsłowych So1 h)
utworzenie globalnego wektora Ro obciążeń węzłowych i)
sumaryczny wektor obciążeń węzłowych P=R-Ro j)
obliczenie wektora przemieszczeń układu q=K^(-1)P k)
obliczenie wektorów przemieszczeń przywęzłowych
elementów D1..l) wektory sił przywęzłowych elementów:
S1=K1D1+S10..
Kondensacja
macierzy sztywności-
zakładamy że pewne siły przywęzłowe równe są zero.
Macierz sztywności skondensowana np. względem D jest
postaci: K=K11-K12*K22^(-1)*K21.
Macierz obrotu
Jacobiego:
macierz zbudowana z pochodnych cząst. (1
rzędu) funkcji, której składowe to funkcje rzeczywiste. Jej
wyznacznik (jakobian) znajduje zastosowanie w funkcjach
wymiernych.
Ocena dokładności aproksymacji:
Z definicji
aproksymacja zakłada istnienie błędu między wartościami
funkcji f(x), której dyskretne wartości są znane, a funkcją
aproksymującą F(x). Parametry poszukiwanej funkcji
dobieramy tak, aby ten błąd był minimalny. Przed
aproksymacją trzeba najczęściej dobrac postac funkcji
aproksymującej, a po niej należy ocenic, czy postac
funkcji została dobrana poprawnie i czy błąd aproksymacji
jest dostatecznie mały. W tej ocenie pomocne są wielkości
statystyczne. Jeżeli oznaczymy średnią wartośc funkcji w
punktach pomiarowych y_=suma od 1 do n z f(xi)/ n to
wariancję możemy zapisac jak H= suma od 1 do n z [f(xi)-
y_]^2. Jeżeli liczba danych n rośnie, rośnie i wariancja.
Miarą błędu, który nie wzrasta wraz ze wzrostem n jest
średnia wartośc wariancji, to znaczy H/(n-1). Aby
sprawdzic wymiar tego błędu do skali porównawczej z
wartością funkcji y, za miarę błędu przyjmujemy tzw
odchylenie standardowe sigmay=pierwiastek[H/(n-l)].
Warto zwrócic uwage że gdy liczba n punktów, w których
znamy wartości poszukiwanej funkcji f(xi) jest duża gdy
opis poszukiwanej funkcji aproksymującej posiada
niewielką liczbę poszukiwanych wsp l, wtedy wszystkie
definicje odchylenia standardowego dają bardzo zbliżone
wartości. Z odchyleniem związane jest odchylenie
standardowe średniej zwane także błędem standaradowym.
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Idea metody: dzielimy ciało na pewne podobszary zwane
elementami skończonymi, wprowadzamy podobną
geometrię, np. trójkąt trzywęzłowy, które mogą się zbiegac
tylko w narożnikach, następnie dokonujemy połączenia w
węzłach ciała.
Etapy rozwiązania:
1. Kontinuum
podzielone zostaje w myśli liniami na pewną liczbę
skończonych elementów. 2. Zakładamy że elementy te
połączone są ze sobą w skończonej liczbie punktów,
znajdujących się na ich obwodach (nie zawsze w
narożnikach). Przemieszczenia punktów węzłowych
stanowic będą podstawowy układ niewiadomych. 3.
Zostaje dobrana funkcja, funkcje okręślające
jednoznacznie stan przemieszczeń wewnątrz każdego
elementu skończonego w zależności od przemieszczeń
punktów węzłowych. Funkcję tę nazywamy funkcją
kształtu, ta sama funkcja używana jest do zmiany kształtu
elementu krzywoliniowego na prostoliniowy. 4. Funkcje
przmieszczeń definiują jednoznacznie stan odkształceń
wewnątrz elementów w zależnosci od przemieszczeń
węzłów. Odkształcenia te wspólnie z odkształceniami
początkowymi i własnościami sprężystymi materiału
określają stan naprężeń w całym elemencie, a więc także
na jego brzegu. 5. Określenie układu sił skupionych w
węzłach równoważących napięcia na brzegach elementów
oraz wszystkie inne siły działające na ciało i zostaje
sformułowany związek, wiążący te siły z
przemieszczeniami węzłów za pomocą tzw. macierzy
sztywności.
Zasada dobierania siatki MES
i sprawdzenie
dokładnosci: 1. Elementy łączy się tylko w węzłach. 2.
Każdy element posiada tylko jedną wartośc składowej
naprężeń i odkształceń. 3. Siatkę należy zagęścic tam
gdzie spodziewamy się dużych naprężeń (przyłożenie sił
skupionych oraz naroża konstrukcji). 4. Stosunek proporcji
boków elementu: najdłuższy /najkrótszy = a/b<=3 5.
Sprawdzenie czy siatka jest dostatecznie dokładna; zasada
podwójnego zagęszczania siatki- zbudowanie jednego
zadania za pomocą 2 różnych siatek tak aby wyniki
odkształceń i naprężeń nie różniły się więcej niż 5%.
Najtrudniej uzyskac ten wynik w punktach przyłożenia sił.
Zasada stałej odległości od punktów przyłożenia sił
pozwala na wyznaczenie naprężeń nie dążących do
nieskończoności. Rozmiar elementu skończonego musi
być skończony, nie można wymodelowac elementu
półnieskończonego. Należy założyc siatkę taką aby
warunki brzegowe nie miały wpływu na uzyskane wyniki
(warunki brzegowe w miejscu gdzie przemieszczenie to
N-0). Dla elementów symetrycznych siatki też powinny
być symetryczne, aby wyniki były dokładniejsze można
siatkę dwukrotnie zagęścic. Do wyznaczenia równań MES
wykorzystujemy zasadę prac
wirtualnych.
Funkcja kształtu:
dowolną funkcję kształtu należy dobrac
tak aby dawała odpowiednie przemieszczenia węzłów i dla
dowolnego węzła miała wartośc 1 oraz 0 dla innych.
Funkcje kształtu : 1. Powinny być dobierane tak, aby nie
pozwalały na wytworzenie się stanu napięcia w elemencie
jeżeli przemieszczenia węzłów powodują jedynie ruch
elementów jako ciała sztywnego. 2. Fk musi być dobrana
tak, aby przy zgodności przemieszczeń węzłów z
warunkiem stałych odkształceń można było otrzymac te
same odkształcenia. 3. Fk powinna być dobrana tak, aby
odkształcenia na granicach między sąsiednimi elementami
były skończone (choc nie muszą być określone).
Elementy w PSO i PSN:
Element trójkątny z 3 węzłami:
przemieszczenia wewnątrz elementu uzależnione od q.
Zakładamy, że przemieszczenia wew. el. Nakładają się
jako wielomian 3 st. Na każdej krawędzi przemieszczenia
muszą rozkładac się jako funkcja liniowa. Macierz
przemieszczeń i odkształceń B nie zależy od punktu w
którym przeprowadzamy obliczenia. W każdym punkcie
elementu trójkąta trójwęzłowego w PSN lub PSO
poszczególne składowe wektora odkształceń mają stałą
wartośc. Powyższe sformułowanie jest zaletą ale także
wadą- dla rzadkiej sitaki jest małe przybliżenie wyników,
więc należy stosowac gęste siatki MES.
Macierz konstytutywna:
jest to macierz która opisuje
właściwości materiałowe materiału z którego zrobiony jest
element (D). Gdy przyjmujemy uk. Wsp. w środku
ciężkości to obciążenie powierzcniowe przyłożone na
elementy rozkłada się równomiernie.
METODY ROZWIĄZYWANIA UKŁ. LINIOWYCH:
Metody dokładne:
1. Met. Eleminacji: met. Gaussa i met.
Jordana 2. Met. Dekompozycyjne: Gaussa-Dolittle'a,
Gaussa-Crouta, met. Cholewskiego (Banachiewicza)
Met.
Przybliżone:
1. Iteracyjne: metoda iteracji prostej Gaussa,
metoda iteracyjna Gaussa-Seidla, metoda nadrelaksacji.
Metoda eleminacji Gaussa:
w podstawowym wariancie
tej metody możemy wyróżnic dwa etapy rozwiązania.
Pierwszy z nich polega na przekształceniu pełnej macierzy
współczynników A do macierzy trójkątnej. Etap ten
nazywamy eliminacją (lub krokiem w przód). W drugim
etapie rozwiązania znajdujemy wartości niewiadomych xi,
posługując się przekształconą trójkątną macierzą
współczynników gdzie i=n,n-1,...,1.Etap ten określany jest
mianem rekursji (krok wstecz). Przybliżona liczba operacji
w tym kroku wynosi około 0,5n^3. Odmianą met
eliminacji Gaussa jest wariant z wyborem elementu
głównego, gdzie przed przystąpieniem do eliminacji i-tego
równania wykonujemy zamianę wierszy i kolumn dolnej
podmacierzy tak, by uzyskac maksymalny dzielnik di na
głównej przekątnej macierzy współczynników. Odpowiada
to zmianie numeracji niewiadomych i zamianie kolejności
wierszy.
Metoda Jordana:
W metodzie Jordana przekształcamy
macierz współczynników poszerzoną o wektor prawych
stron w taki sposób, aby już na etapie eliminacji
przekształcic ją w macierz jednostkową AX=P=>IX=PAX
Redukcję przeprowadzamy w całej j-tej kolumnie, a nie
tylko poniżej głównego elementu, jak to jest w met.
Gaussa. Proces eliminacji w metodzie Jordana jest bardziej
czasochłonny wymaga około 1,5 razy więcej operacji niż
w met Gaussa. Unikamy jednak w niej wykonywania
rekursji. Metoda Jordana może być wykorzystana do
odwrócenia macierzy. W tym celu jako macierz wektorów
prawych stron należy dopisac do macierzy
współczynników macierz jednostkową o wymiarze
równym macierzy współczynników, którą chcemy
odwrócic.
METODY DEKOMPOZYCYJNE:
Ideą metod dekompozycyjnych jest rozkład macierzy
współczynników układu równań liniowych na dwie
macierze trójkątne. Wykorzystuje tu się fakt, że każdą
nieosobliwą macierz kwadratową A można rozłożyc na
iloczyn dwóch macierzy trójkątnych L i U, gdzie L jest
macierzą trójkątną dolną a U górną. Rozkładu takiego
można dokonac w przypadku gdy wszystkie minory
główne tej macierzy są różne od zera. Można to zrobic na
n sposobów, obierając dowolnie n elementów na głównej
przekątnej macierzy L lub U. Od doboru tych elementów
zależy w głównej mierze sposób rozwiązania problemu.
Krok wsteczny, w odróżnieniu od met eliminacynych,
wykonujemy dwukrotnie. Zaletą jest fakt iż w trakcie
przekształceń nie zostaje naruszony wektor prawych stron.
Metoda Gaussa-Doolittle'a:
W metodzie tej dokonujemy
dekompozycji macierzy A na dolną macierz trójkątną L
posiadającą jedynki na głównej przekątnej i górną macierz
trójkątna U.+wzory
Metoda Gaussa-Crouta:
W metodzie tej dokonujemy
dekompozycji macierzy A na dolną macierz L i górną
trójkątną macierz U posiadającą jedynki na głównej
przekątnej.+wzory
Metoda Cholewskiego (Banachiewicza):
Metoda ta
może być stosowana tylko w przypadku gdy macierz
współczynników jest symetryczna i dodatnio określona.
Polega na rozkładzie macierzy na dwie jednakowe
macierze trójkątne A=S*S'. Zaletą tej metody jest fakt
uzyskania tylko jednej macierzy trójkątnej, natomiast
wadą (oprócz ograniczeń dotyczących typu macierzy
współczynników) jest pojawiająca się w równaniu
operacja pierwiastkowania. Powoduje ona znaczne
wydłużenie czasu obliczeń na komputerze, gdyż
obliczenie pierwiastka realizowane jest przez obliczenie
odpowiedniego szeregu.
Metoda iteracyjna Gaussa:
Rozważmy układ trzech
równań liniowych. Aby w met wyznaczyc niewiadome,
należy: 1. Z równania 1 wyznaczyc x1^k i analogicznie x2
i x3. 2. Zakładamy dowolne, wstępne wartości
poszukiwanych niewiadomych. 3. Podstawiamy obrane w
poprzednim kroku postępowania, bądź w poprzedniej
iteracji wartości niewiadomych po prawej stronie układu
równań i wyznaczamy wartosci x1^k, x2, x3. 4.
Powtarzamy krok 3 aż do uzyskania żądanej dokładności
rozwiązania (poprzez porównanie wartości niewiadomych
w kolejnych iteracjach). Proces iteracyjny może okazac się
rozbieżny lub słabo zbieżny ( w zależności od wstepnie
przyjętych wartości niewiadomych), jednak jeżeli jest
zbieżny, to zawsze prowadzi do tego samego, poprawnego
rozwiązania.
Metoda Gausa-Seidla:
W przypadku rozwiązania układu
postępujemy: 1. Przekształcamy układ równań jak w
metodzie Gaussa. 2. Zakładamy wartości poszukiwanych
niewiadomych. 3. Wstawiamy do równania przyjęte
wartości zmiennych x2^(k-1) i x3^(k-1), wyznaczając
nową wartośc niewiadomej x1^k. 4. Wyznaczamy x2k na
podstawie wyznaczonej wartości x2k z bieżącego kroku i
starej wartości x3k-1. 5. Wyznaczamy wartośc x3k na
podstawie wyznaczonych w bieżącym kroku wartości x1k
i x2k. 6. Powtarzamy krok 3 4 5 aż do uzyskania zadanej
dokładności. W odróżnieniu od iteracji prostej, proces
iteracyjny jest zbieżny, gdy macierz współczynników jest
symetryczna i dodatnio określona.
Metoda nadrelaksacji:
W procesie nadrelaksacji
niewiadome wyznaczamy z zależności xj^k=hj^(k-
1)+deltaxj^k*w, gdzie w jest współczynnikiem
nadrelaksacji, deltaxj^k poprawką, a k bieżącym numerem
iteracji. W przypadku gdy mamy do czynienia z macierzą
A symetryczną i dodatnio określoną, zbieżnośc w procesie
iteracji osiąga się dla 0<w<2 (zwykle jest to zakres
1,2<w<1,45). Warto zwrócic uwagę na fakt, iż w
przypadku gdy w=1 metoda przechodzi w proces Seidla
METODY DLA UKŁ. RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Metoda przeszukiwania:
Zakładamy, że poszukiwane
pierwiastki znajdują się w przedziale <a;b>. Dzielimy go
na n równych podprzedziałów i obliczamy wartości
funkcji w punktach podziału. Poszukujemy takich dwu
odciętych, dla których wartośc funkcji ma przeciwne
znaki. Pierwiastek może znajdowac się w tym
podprzedziale z dokładnością równą długości
podprzedziału wyznaczoną przez te odcięte. Jeżeli takiego
przedziału nie znajdziemy, uważamy że nie ma w danym
przedziale pierwiastków. Główną zaletą tej metody jest
prostota. Główne wady to: 1. Krok przeszukiwania może
okzazac się zbyt duży, co może skutkowac pominięciem
jakiegoś pierwiastka. 2. Nie można znaleźc pierwiastków,
w których funkcja osiąga minimum lub maksimum. 3.
Zwiększenie dokładności wymaga znacznego zmiejszenia
kroku przeszukiwani, co wydłuża czas obliczeń.
Metoda połowienia kroku:
Stosuje się ją zwykle jako
uzupełnienie metody przeszukiwania. Po określeniu
przedziału, w którym znajduje się pierwiastek, dzielimy
ten przedział na dwie części i sprawdzamy w której części
funkcja zmienia znak. Przyjmujemy że pierwiastek
znajduje się w tym podprzedziale i przystępujemy do
połowienia go w ten sam sposób. Każdy krok ma długośc
h/2, gdzie h jest długością kroku poprzedniego. Zaletą tej
metody jest w porównaniu z metodą przeszukiwania jest
mniejsza liczba kroków potrzebnych do osiągnięcia
żądanej dokładności.
Metoda lokalnego minimum
: W metodzie tej poszukuje
się punktu, w którym funkcja osiąga minimum. Dany
przedział <a,b> przeszukujemy z krokiem o dokładności h.
Jeśli funkcja maleje to posuwamy się dalej w tym samym
kierunku z tym samym krokiem, jeśli nie- zawracamy,
połowiąc długośc kroku do wartości h/2. Metodą tą można
wyznaczyc minimum lokalne, może ono w szczególności
być równe 0. Aby tak było zawsze można na podstawie
funkcji f(x), której pierwiastków szukamy, zbudowac
funkcję g(x)=If(x)I i do niej zastosowac badanie
minimum. Przy takim postępowaniu można wyznaczyc
wszystkie pierwiastki i ekstrema f(x) w danym przedziale.
Metoda Monte Carlo:
Punkty, w których obliczamy
wartości funkcji w metodzie MC w przyjętym przedziale
<a,b> wybiera się losowo w seriach po n. Po każdym
losowaniu zapamiętuje się najmniejszą wartośc obliczanej
funkcji oraz wartości odpowiadającej jej zmiennej x. W
ten sposób po większej liczbie losowań znajduje się
minimum funkcji. Do zalet tej metody możemy zaliczyc
to, że stwarza szanse wylosowania punktów, które
mogłyby być pominięte przy poszukiwaniu
systematycznym. Daje też szanse wylosowania minimum
globalnego, a nie tylko lokalnego. Metoda MC jest
zalecana dla funkcji nieregularnych gdyż nie bierze pod
uwagę zachowania się funkcji w otoczeniu punktu.
Główna wada to czasochłonnośc.
Metoda siecznych:
W metodzie tej zastępujemy wykres
funkcji na odcinku <a,b> przez wielomian pierwszego
stopnia. Wyznaczamy pierwiastek z zależności: x=a-f(a)*
(b-a)/(f(b)-f(a)). Teraz zmieniamy przedział poszukiwania
pierwiastka przyjmując: f(x)*f(a)<0 => b=x f(x)*f(a)>0
=> a=x Za lepsze przybliżenie wartości pierwiastka
przyjmuje się punkt, w którym wielomian pierwszego
stopnia ma wartośc zerową. Jeżeli dokładnosc nie jest
wystarczająca przyjmuje się punkt x jako nową granicę
przedziału.
Metoda siecznych z przyspieszeniem:
Na początku
obliczamy wartośc funkcji dla dwóch dowolnych wartości
zmiennej niezależnej x. Na tej podstawie obliczamy
kolejne przybliżenie rozwiązania z zależności: xi+1=xi-
[f(x)(xi-1-xi)]/[f(xi-1)-f(xi)]. W odróżnieniu od metody
siecznych pierwiastek tu nie leży między dwoma
poprzednimi rozwiązaniami (metoda nie zawsze jest
zbieżna). Jeżeli metoda ta jest zbieżna, to w porównaniu z
metodą siecznych jest zbieżna szybciej.
Metoda stycznych (Newtona):
Przypuścmy że x1
oznacza oszacowane przybliżenie wartości pierwiastka
równania, możemy wtedy napisac w tym punkcie
równanie stycznej go krzywej y=f(x) y=f(x1)+f'(x1)(x-x1)
Punkt x2 przecięcia się tej stycznej z osią x uważamy za
następne, lepsze przybliżenie wartości pierwiastka x2=x1-
f(x1)/f'(x1) Metoda ta znacznie szybciej prowadzi do
obliczenia pierwiastka niż metoda siecznych. W każdym
kroku otrzymuje się dwa razy więcej cyfr binarnych
rozwiązania niż w poprzedniej. Wymaga ona jednak
zgrubnego oszacowania pierwszego przybliżenia, co nie
zawsze jest łatwe. Dodatkowo poza znajomością samej
funkcji musimy znac jej pochodną.
Interpolacja:
proces numeryczny prowadzący do
wyznaczenia równania funkcji (funkcja interpolacyjna),
gdy dane jej dyskretne wartości (węzły interpolacji).
Równanie wykorzystuje się najczęściej w celu
wyznaczenia wartości pośrednich funkcji. Ważnymi
cechami jest to, że jej równanie może się zmieniac między
węzłami interpolacji oraz to, że poszukiwana funkcja lub
funkcje interpolujące muszą przechodzic przez wszystkie
węzły interpolacji. Interpolację stosujemy zazwyczaj gdy
liczba punktów węzłowych jest niewielka i kiedy zależby
nam, aby poszukiwana funkcja przechodziła przez punkty
węzłowe. Wariantem interpolacji jest ekstrapolacja.
Prowadząc interpolację potrzebujemy pewnej z góry
przyjętej postaci poszukiwanej funkji w zależności od tej
postai najczęściej stosuje się interpolacje:
Rodzaje interpolacji:
Interpolacja: liniowa, kwadratowa,
Newtona dla wielomianu dowolnego stopnia,
wielomianami Czybyszewa, wielomianami Hermite'a,
wielomianami Lagrange'a, szeregami Fouriera.
Aproksymacja:
Zadanie aproksymacyjne polega na
wyznaczeniu przybliżonego przebiegu funkcji dla danego
zbioru punktów, w których znane są wartości funkcji (np.
punkty pomiarowe). W odróżnieniu od zagadnienia
interpolacji zazwyczaj mamy tu znaczną liczbę takich
punktów. W aproksymacji zamiast poszukiwania wielu
funkcji przybliżających poszukuje się jednej, która
niekoniecznie musi przechodzic przez wszystkie punkty
pomiarowe. Tak więc w każdym punkcie pomiarowym
pojawia się różnica (błąd) między wartością pomierzonej
funkcji a wartością funkcji aproksymującej. Żądamy, aby
było spełnione odpowiednio dobrane kryterium minimum
tego błędu. Do najczęściej stosowanych kryteriów błędów
należą kryterium: minimum sumy błędów, minimum
wartości bezwzględnej błędów, minimum błędu
maksymalnego (minimax), kryterium sumy kwadratów
błędów. Wyróżnia się w zależności od przyjętego sposobu
oszacowania
błędów aproksymacji
trzy rodzaje
aproksymacji:
interpolacyjną,
jednostajną,
średniokwadratową.
Aproksymacja interpolacyjna:
Jest to aproksymacja, w
której żądamy, aby tak jak w interpolacji funkcja
aproksymująca przechodziła przez wszystkie punkty
pomiarowe. Jednak w odróżnieniu od interpolacji tym
razem musi to być jedna funkcja dla całego zakresu
punktów pomiarowych. Dodatkowo można określic
warunki, jakie muszą spełniac pochodne poszukiwanej
funkcji w punktach pomiarowych. Na ogół znalezienie
takiej funkcji (szczególnie przy dużej liczbie punktów
pomiarowych) może być trudne.
Aproksymacja jednostajna:
Jest to często stosowany dla
wielomianów sposób aproksymacji, w którym jako
kryterium minimalizacji błędów przyjmuje się kryterium
minimax. Można udowodnic że w przypadku
aproksymacji wielomianem w przedziale <a,b> zawsze
można znaleźc taki wielomian, aby maksymalny błąd
między wartościami funkcji przybliżanej i aproksymującej
miał zadaną małą wartośc (twierdzenie Weierstrassa).
Metoda najmniejszych kwadratów:
Jest to najczęściej
stosowany sposób aproksymacji. Posiada wiele wariantów.
Żądamy w niej, aby zostało spełnione kryterium minimum
sumy kwadratów błędów. Wartości funkcji y1 do yn dane
są w punktach x1 do xn. Szukamy funkcji jako kombinacji
liniowej pewnych funkcji y=a1f1(x)+a2f2(x)+... znanych
funkcji f1(x).., teraz jednak w odróżnieniu od interpolacji
l<<<n, gdzie l jest liczbą funkcji aporoksymujących, a n
liczbą punktów, w których dana jest wartośc funkcji. Jeżeli
wyznaczymy a1,a2,...,ai to w i-tym równaniu pojawi się
błąd. Współczynnik ak dobieramy tak aby sumaryczna
miara błędu była najmniejsza. Najprostsze równanie tego
typu jest sumą kwadratów wszystkich błędów. Równanie
takie nazywamy wariancją. H= (suma od i=1 do n) delta
yi^2. Niewiadomymi w tym równaniu są wsp ai.
Minimum funkcji zachodzi gdy (poch.cząst.H)/
(poch.cząst.aj) =0. Otrzymujemy układ l równań o l
niewiadomych a1 do al. Generalnie rozwiązanie problemu
wymaga przyjęcia postaci funkcji aproksymujacych. W
wielu wariantach, gdy funkcje aproksymujące mają
złożoną postac, lub gdy aproksymowane wsp ak są
uwikłane w opisie funkcji (interpolacja nieliniowa), trzeba
także założyc początkowe wartości poszukiwanych wsp
aproksymacji ak i poszukiwac ich końcowych wartości w
iteracjach. W wielu przypadkach może to prowadzic do
niejednoznaczności rozwiązania (szczególnie w przypadku
silnej nieliniowości problemu). Musimy wtedy dobrze
wybrac początkowe przybliżenie wartości wsp.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]