Środowisko programowe do symulacji zjawiska tunelowania(1), stz. Prace Magisterskie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wydział Podstawowych Problemów Techniki
Ś
rodowisko programowe
do symulacji zjawiska tunelowania
Praca dyplomowa in
Ŝ
ynierska
Michał Chometa
Opiekun:
dr hab. in
Ŝ
. Włodzimierz Salejda prof. PWr.
Wrocław 2006
Opiekunowi prof. Włodzimierzowi Salejdzie
serdecznie dzi
ę
kuj
ę
za pomoc, cenne rady i dyskusj
ę
.
Bez Jego cierpliwo
ś
ci niniejsza praca by nie powstała.
2
Spis Tre
ś
ci
1.
Wprowadzenie .............................................................................................. 4
2.
Równanie Schrödingera............................................................................... 5
3.
Tunelowanie – analiza ilo
ś
ciowa zjawiska ................................................. 7
4.
Macierze przej
ść
......................................................................................... 10
4.1. Macierz przej
ś
cia
M
1
................................................................................................. 11
4.2. Macierz przej
ś
cia
M
2
................................................................................................. 12
4.3. Macierz przej
ś
cia
M
3
................................................................................................. 14
4.4. Macierz przej
ś
cia
M
4
................................................................................................. 15
4.5. Macierz przej
ś
cia
M
5
................................................................................................. 17
4.6. Macierz przej
ś
cia
M
6
................................................................................................. 19
4.7. Macierz transmisji ..................................................................................................... 20
5.
Opis
ś
rodowiska programowego............................................................... 22
6.
Wybrane wyniki.......................................................................................... 28
6.1. Bariera prostok
ą
tna ................................................................................................... 28
6.2. Podwójna symetryczna bariera.................................................................................. 30
6.3. Podwójna prostok
ą
tna bariera niesymetryczna ......................................................... 31
6.4. Wielokrotne studnie potencjału................................................................................. 34
6.5. Tunelowanie cz
ą
stek o ró
Ŝ
nych masach ................................................................... 35
7.
Wnioski ........................................................................................................ 38
8.
Podsumowanie ............................................................................................ 41
9.
Literatura .................................................................................................... 42
3
1. Wprowadzenie
Celem pracy było opracowanie
ś
rodowiska obliczeniowego pozwalaj
ą
cego
u
Ŝ
ytkownikowi na projektowanie układu prostok
ą
tnych barier potencjalnych (ich wysoko
ś
ci i
szeroko
ś
ci) oraz wyznaczanie, dla zaprojektowanego układu barier, współczynnika
tunelowania i transmisji cz
ą
stek kwantowych.
Przenikanie cz
ą
stek przez bariery potencjału o sko
ń
czonej grubo
ś
ci jest efektem
czysto kwantowym, nie daj
ą
cym si
ę
uzasadni
ć
na gruncie fizyki klasycznej. W fizyce
atomowej jednak wykryto zjawiska nie daj
ą
ce si
ę
wytłumaczy
ć
inaczej ni
Ŝ
jako przenikanie
przez bariery potencjału, co zostało nazwane efektem tunelowym [1], [2]. J
ą
dra atomów
utrzymywane s
ą
w cało
ś
ci silnym potencjałem przypominaj
ą
cym zw
ęŜ
aj
ą
cy si
ę
na szczycie
wał. Energie nukleonów, z których s
ą
zbudowane j
ą
dra nawet w stanach wzbudzonych maj
ą
energie mniejsz
ą
od wysoko
ś
ci tego wału potencjału. Pomimo tego obserwujemy przenikanie
cz
ą
stek
α
na zewn
ą
trz pola oddziaływa
ń
j
ą
drowych [3]. W ten sposób mo
Ŝ
na rozumie
ć
zjawisko promieniotwórczo
ś
ci, samorzutne rozszczepianie si
ę
niektórych j
ą
der, tzw. zimn
ą
emisj
ę
elektronów z metalu, zjawiska kontaktowe w ciałach stałych i inne.
Fakt,
Ŝ
e cz
ą
stki o energii wy
Ŝ
szej od bariery potencjału równie
Ŝ
ulegaj
ą
rozproszeniu
jest tłumaczony znaczn
ą
zmian
ą
p
ę
du (zale
Ŝ
nego od potencjału ) [4].
W nast
ę
pnym rozdziale przedstawiamy krótkie wprowadzenie do zjawiska
tunelowania w ramach mechaniki kwantowej. Rozdział trzeci zawiera analiz
ę
ilo
ś
ciow
ą
zjawiska tunelowania w przypadku jednowymiarowym, oraz przykład tunelowania
obserwowany w mikroelektronice. W rozdziale czwartym przedstawimy niezb
ę
dne
przekształcenia numeryczne wykorzystywane w zaprojektowanym
ś
rodowisku
programowym. Rozdział pi
ą
ty zawiera opis
ś
rodowiska programowego. Rozdział szósty jest
po
ś
wi
ę
cony prezentacji wybranych wyników i ich porównaniu z wynikami analitycznymi.
W rozdziale siódmym i ósmym przedstawiono odpowiednio wnioski ko
ń
cowe
i podsumowanie pracy. Ostatni rozdział zawiera spis literatury.
4
2. Równanie Schrödingera
Przełom wieków XIX i XX zaowocował eksperymentami, które ukazywały dualno
ść
natury na poziomie atomowym. Falowe własno
ś
ci cz
ą
stek i korpuskularno
ść
promieniowania
wynikaj
ą
ce z tych do
ś
wiadcze
ń
stały w jawnej sprzeczno
ś
ci z ówczesn
ą
wiedz
ą
. Fizyka
klasyczna precyzyjnie okre
ś
lała poło
Ŝ
enia cz
ą
stek. Ponadto wiadomo było
Ŝ
e cz
ą
stki
elementarne s
ą
niepodzielne – nie mo
Ŝ
na zaobserwowa
ć
lub uzyska
ć
połówki elektronu.
Natomiast fale mo
Ŝ
na dzieli
ć
, ale nie mo
Ŝ
na ich precyzyjnie zlokalizowa
ć
. Fale posiadaj
ą
długo
ść
λ
i cz
ę
stotliwo
ść
υ
i s
ą
rozci
ą
gni
ę
te w czasoprzestrzeni.
Ta dualno
ść
stawia nas przed dylematem: opis cz
ą
stki zdaje si
ę
by
ć
niekompatybilny
z opisem fali, w szczególno
ś
ci, w przypadku zjawiska interferencji. Relacje de Broglie’a,
p = h /
l
, oraz Bohr’a,
E = h
υ
, okre
ś
laj
ą
dynamiczne własno
ś
ci cz
ą
stki, wła
ś
nie dzi
ę
ki
zjawisku interferencji .
Równanie Schrödingera dla cz
ą
stki poruszaj
ą
cej si
ę
pod wpływem niezale
Ŝ
nej od
czasu siły potencjalnej [5]:
>
¶
>
2
-
=
-
Ñ
2
Y
+
V
Y
=
H
Y
(2.1)
i
¶
t
2
m
mo
Ŝ
e zosta
ć
przekształcone na niezale
Ŝ
ne od czasu równanie funkcji
y
(
x
,
y
z
)
zakładaj
ą
c,
Ŝ
e
Y
=
f
( ) (
t
y
x
,
y
,
z
)
,
(2.2)
sk
ą
d otrzymujemy
1
>
¶
f
1
>
2
1
{ }
-
=
-
Ñ
2
y
+
V
y
=
H
y
=
const
.
(2.3)
f
i
¶
t
y
2
m
y
Poniewa
Ŝ
musi to by
ć
prawdziwe dla wszystkich warto
ś
ci
t
oraz
x, y, z
, lewa i prawa
strona równania musz
ą
by
ć
równe stałej.
Fizyczne znaczenie stałej mo
Ŝ
e by
ć
rozumiane jako energia
E
( )
-
i
Et
f
t
=
e
>
,
(2.4)
oraz
>
2
-
Ñ
2
y
+
V
y
=
E
y
.
(2.5)
2
m
5
,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]