¦ćwiczenie 2 - Stosunek pr¦Ödko+Ťci +Ťredniej do maksymalnej, studia calosc, studia całość, 3 semestr, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ćwiczenie 2
Stosunek prędkości średniej do maksymalnej
I.
Celem ćwiczenia
jest eksperymentalne określenie stosunku prędkości średniej do
maksymalnej przy przepływie powietrza przez przewód o przekroju kołowym.
II.
Wprowadzenie
Rozważmy ustalony przepływ nieściśliwego lepkiego płynu przez przewód
d
. Do rozważań
kołowy o stałej średnicy D 2R
=
. Pomijamy siły masowe (G 0)
=
wybieramy cylindryczny układ współrzędnych (r,
Φ
, z) związany z przewodem w taki
sposób, że oś
z
pokrywa się z geometryczną osią rury, a jej zwrot jest zgodny ze
zwrotem wektora prędkości. Zakładamy, że pole prędkości przepływu
v
jest
symetryczne względem tej osi i jest funkcją promienia
r
.
Przyjmując, że ruch jest laminarny, możemy taki przepływ opisać równaniem
Naviera-Stokesa w postaci:
2
1 dp
d v
1 dv
= n
+
(2.1)
2
r
dz
dr
r dr
gdzie:
Ρ
– gęstość płynu (
Ρ
= const),
p
– ciśnienie,
Ν
– kinematyczny współczynnik lepkości (
Ν
= const).
d
) jest stały i równy:
Gradient ciśnienia równoległy do osi rury (gdyż G 0
=
dp
D
p
const
(2.2)
= -
=
dz
gdzie:
p – różnica ciśnień między przekrojami rury odległymi o L.
1
Rys.2.1.
Kinematyczny współczynnik lepkości powietrza w funkcji temperatury i ciśnienia
Zatem
1 p
d v
2
1 dv
D
-
= n
+
L
dr
2
r dr
r
Powyższą postać równania możemy przekształcić następująco:
1 p
D
1 d
dv
r
-
= n
r
L
r dr
dr
Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy:
2
1 p r
D
[
]
v(r) C lnr C
(2.3)
-
= n
+
+
1
2
r
L 4
Rozwiązanie (2.3) musi być ze względów fizycznych ograniczone do każdego r, w
szczególności dla r
=
0
. Zatem
C
=
0
, gdyż
limlnr
®
= -¥
. Natomiast prędkość płynu
r
0
lepkiego na powierzchni kontaktu z ciałem stałym równa się zeru:
r
=
R,
__
_
v
=
0
Wobec tego zachodzi:
pR
2
D
C
= -
2
4L
m
2
Poszukiwaną funkcję v(r) może napisać w postaci
2
2
D
pR
r
v(r)
1
=
-
(2.4)
2
4 L
m
R
gdzie:
– dynamiczny współczynnik lepkości.
Profil prędkości przedstawiony zależnością (2.4) ma kształt paraboloidy obrotowej.
Funkcja (2.4) w osi przewodu (r
0)
ma maksimum równe:
=
2
D
pR
v
v(r 0)
(2.5)
=
=
=
max
4 L
m
Całkując prędkość (2.4) po powierzchni przekroju przewodu, oblicza się strumień
objętości:
R
R
2
2
4
2
pD
pR
r
pD
pR
Q
∫
vdF 2
∫
rv(r)dr
∫
r 1
dr
=
=
p
=
-
=
(2.6)
2
4 L
m
R
8 L
m
F
0
0
Prędkość średnią możemy wyliczyć z definicyjnej zależności:
4
2
Q
pR
pR
pD
D
v
=
=
=
(2.7)
sr
F
8 L R
m p
2
8 L
m
Porównując (2.5) i (2.7) widzimy, że w ruchu laminarnym prędkość średnia równa jest
połowie prędkości maksymalnej.
1
v
=
v
(2.8)
sr
max
2
W przepływie turbulentnym profil prędkości różni się znacznie od rozkładu
prędkości odpowiadającemu ruchowi laminarnemu. Prędkość nieznacznie zmienia się w
podstawowym rdzeniu strumienia płynu i szybko maleje w pobliżu ścianek.
Bezpośrednio przy ściance przewodu znajduje się laminarna warstwa przyścienna o
grubości
Δ
, w której prędkość jest liniową funkcja zmiennej r.
t
(
)
(2.9)
v
=
0
R r
-
m
gdzie:
Τ
0
– naprężenie styczne na ściance.
Natomiast w pozostałej części przekroju profil prędkości w ruchu turbulentnym wyraża
zależność:
3
n
r
v
v
1
(2.10)
=
-
max
R
Wzór (2.10) nazywany jest wzorem potęgowym Prandtla.
Rys.2.2.
Rozkład prędkości w warstwie przyściennej i w rdzeniu turbulentnym
Wartości współczynnika n ustalane są na podstawie pomiarów. Jak wynika z tych
eksperymentów, wartość wykładnika potęgowego zależy od liczby Reynoldsa i maleje
wraz z jej wzrostem.
Z zależności (2.10) przy założeniu, że
d <<
R
określamy średnią prędkość przepływu
n
R
Q
1
r
2v
∫
v
=
=
v
1
-
2 rdr
p
=
max
(2.11)
(
)(
)
sr
2
max
F
p
R
R
n 1 n 2
+
+
0
Stosunek prędkości średniej do maksymalnej przy przepływie turbulentnym jet więc
równy
v
2
k
=
sr
=
(2.12)
(
)(
)
v
n 1 n 2
+
+
max
Dla liczb Reynoldsa z przedziału (10
4
÷
10
7
) współczynnik k liczony ze wzoru (2.12)
przyjmuje wartości z zakresu (0,8
÷
0,9).
III.
Pomiar prędkości miejscowych
Pomiaru prędkości miejscowych dokonuje się zwykle przy pomocy rurek
piętrzących: Pitota i Prandtla. Jeżeli w poruszającym się płynie zostanie zanurzone ciało,
4
to nastąpi spiętrzenie przepływu oraz rozdział strug dookoła tego ciała. W punkcie
stagnacji S (rys.2.3) znajdującym się w środku obszaru spiętrzania, prędkość przepływu
jest równa zeru (v = 0).
Rys.2.3.
Punkt stagnacji
Równanie Bernoulliego dla „zatrzymanej” linii prądu ma postać:
v
p
p
(2.13)
¥
+
¥
=
2g
r
g
r
g
gdzie: v
∞
, p
∞
- prędkość i ciśnienie w przepływie niezakłóconym,
p – ciśnienie statyczne w punkcie stagnacji.
Przekształcając równanie (2.13) otrzymujemy:
2
r
v
p p
=
+
2
¥
(2.14)
¥
2
r
v
2
¥
Ciśnienie p będące sumą ciśnienia statycznego p
∞
i ciśnienia dynamicznego
nazywamy ciśnieniem całkowitym. Wynika stąd, że ciśnienie w punkcie stagnacji jest
ciśnieniem całkowitym i jeśli tam zostanie wykonany otwór, to wewnątrz niego będzie
panowało ciśnienie całkowite. Wyznaczenie prędkości przepływu można, zatem
sprowadzić do pomiaru ciśnienia spiętrzania oraz pomiaru ciśnienia statycznego.
Taka metoda pomiaru prędkości realizowana jest przy pomocy rurki Pitota.
Ciśnienie całkowite mierzone jest w punkcie spiętrzania, a statyczne na ściance
rurociągu. Wymaga to jednak założenia, że ciśnienie statyczne w całym przekroju jest
stałe.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]