ściage teoria, Studia PŚK informatyka, Semestr 5, Metody Obliczeniowe, wyklad, sciagi
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Błędem bezwzględnymnazywa się różnicępomiędzy wartością zmierzonąA,a wartościądokładnąa.Błąd ten obliczamy zwzoru:∆ =A−aBłąd względnyto iloraz błędu bezwzględnego iwartości dokładneja.Błąd ten obliczamy zwzoru:∆wyprowadza się wzór na k-tą pochodną funkcjiy=f(x)w punkcie x.b)∆=∆1,∆2, …Jednak nie wszystkie wyznacznikiI tak dlak=1 mamy:jednocześnie są równe zeru. UkładCjestukłademsprzecznym.c)∆ =0,∆ = ∆=…=∆ =12nδ=Ak=2 mamy:Błędy działań arytmetycznych na liczbachprzybliżonych:a. Suma:n-bezwzględna:∆y≤∑∆xii=1-względna:∆δ≤∑i=1n∆xi∑xi=1niMetody Newtona-Cotesa- są zbiorem metodnumerycznych całkowania, zwanego równieżkwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona IRogera Cotesa.Wzór trapezów - Idea wzoru opiera się nageometrycznej interpretacji całki oznaczonej zfunkcjinieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.W tym przypadku przynajmniej jedno z równańukładuCjest kombinacją liniową pozostałychrównań. Układ taki może by sprzeczny luboznaczony.Metoda eliminacji Gaussa:Metoda eliminacji Gaussa polega naporównywaniu współczynników jednej zniewiadomych i wykluczamy ją ze wszystkichrównań oprócz jednego. W taki oto sposób układnrównań onniewiadomych sprowadza się dojednego równania onniewiadomych in-1równańon-1niewiadomych. W ten sposób budujemytrójkątny układ równańA(1)x=b(1)postaci:(1(11a11)x1+a12)x2+...+a1(n)xn=b1(1)(1)(1)(1)(1)a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...................................(((1(an1)x1+an12)x2+...+ann)xn=bn1)1Odejmując odi-tegowiersza tego układui=2,3,…,n pierwszy wiersz pomnożony przez(2)(2)a(1)/a(1)otrzymujemy układ A x=b postaci:b. Różnica:-bezwzględna:-względna:∆y≤ ∆x1+ ∆x2∆y∆x1+ ∆x2<yx1−x2Wzór Simpsona - ma zastosowanie do funkcjistablicowanych w nieparzystej liczbie równoodległych punktów (wliczając końce przedziałucałkowania). Metoda opiera się na przybliżaniufunkcji całkowanej przez interpolację wielomianemdrugiego stopnia.δy=c. Iloczyn:-bezwzględny:∆y≤ ∆x1⋅x2⋅...⋅xn+x1⋅ ∆x2⋅...⋅xn+xi⋅xi⋅...⋅ ∆xn-względny:i111δy=∑i=1n∆xixi=∑δxii=1nd. Iloraz:-bezwzględny:∆y≤∆x1x1⋅ ∆x2∆x∆x+=1+y−22x2x2x2x2Wzór prostokątów - Metoda ta obarczona jestdosyć dużym błędem, ponieważ prostokątyniezbytdobrze przybliżają pole pod i nad wykresemfunkcji. Zaletą jest prosty wzór wyliczania całki.(2(22a11 )x1+a12 )x2+...+a1(n)xn=b1( 2 )( 2)( 2)(a22x2+...+a2nxn=b2 2 )...................................((2(an2)x2+...+ann)xn=bn2 )2-względny:δy≤∆x1∆x2+=δx1−δx2x1x2- z niedomiaremSchemat Hornerajest to sposób reprezentowaniawielomianu W(x) w postaciWn(x)=((...(anx+an−1)⋅x+an−2)+...+a1)x+aTym samym nie ma już niewiadomej x1wrównaniach leżących w wierszach o numerachi=2,3,…,n. Podobnie odejmujemy x2. Postępującdalej podobnie otrzymamy trójkątny układ równańA(n)x=b(n)postaci:(n(nna11 )x1+a12 )x2+...+a1(n)xn=b1(n)(n((a22 )x2+...+a2n)xn=b2n)n.......... .........................(n(ann)xn=bn n)umożliwiający zaoszczędzenie wielu zbędnychmnożeń (wielokrotnego potęgowania x) przyobliczaniu wartości wielomianu.5.Ciąg Taylora:Szereg Taylora,jeden z potęgowych szeregówfunkcyjnych. Gdy pewna funkcja f(x) jestnieskończenie wiele razy różniczkowalna wotoczeniu pewnego punktu x = a, to może byćprzedstawiona dla każdego punktu x należącegodo tego otoczenia w postaci rozwinięcia: f(x) = f(a)(n)n+Σ{f(a)(x - a) }/n!,gdzie f(n)(a) - wartość n-tej pochodnej funkcji f wpunkcie a. Rozwinięcie na szereg Taylora pozwalaobliczyć przybliżoną wartość funkcjif(x) = f(a) +Σ{f(n)(a)(x - a)n}/n! + Rn,gdzie Rn- tzw. reszta, która, jeśli jest dostateczniemała, może być zaniedbana (tzw. wzór Taylora).Interpolacja Lagrange'a,jest metodąnumeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianemLagrange'a stopnian,przyjmującym wn+1punktach, zwanychwęzłami interpolacjiwartościtakie same jak przybliżana funkcja. Interpolacjajest często stosowana w naukachdoświadczalnych, gdzie dysponuje sięzazwyczaj skończoną liczbą danych do określeniazależności między wielkościami. Zgodnie ztwierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcjęy=f(x)ciągłą na przedziale domkniętym można dowolnieprzybliżyć za pomocą wielomianu odpowiedniowysokiego stopnia. Metoda interpolacji polega na:wybraniun+ 1 punktów x1,x2,…,xnnależących dodziedzinyf,dla których znane są wartościznalezieniu wielomianuW(x)stopnia co najwyżejn+ 1 takiego,żeWzór wygląda następująco:-z nadmiaremMetoda Cramera:Dla dowolnego n równań liniowych o nniewiadomych:C=a x+a x+...+a x=b11 112 21n n1a x+a x+...+a x=b21 122 22n n2...................................an1x1+an2x2+...+annxn=bnGdzie:A=a11a21...an1a12a22...an2...a1n...a2n.........annx=x1Oraz:b=b1b2,... bnx2... xnTworzymy wyznacznik∆dla macierzy A zewspółczynników przy niewiadomych x1,x2,…,xn:a11a12...a1n=det A∆=a21...an1a22...an2...a2n... ......annZastępując w wyznaczniku∆kolejno pierwszą,drugą, …, ostatnią kolumnę kolumną wyrazówwolnychbotrzymamynwyznaczników∆1,∆2,...,∆n:,,∆1=b1b2a12a22...a1n...a2na11b1ab∆2=21 2... ...an1bn...a1n...a2n... ......annWychodząc z ostatniego równania i rozwiązująckolejne równania wyznaczające współrzędnewektora X w kolejności odwrotnej za pomocąwzorów:bxn=nannb−ainxn−...−aii+1xi+1xi=i, (i=n−1,n−2,...,1)aiiMożna oceni,żeliczba wykonywanych działańmetodą eliminacji Gaussa jest rzędu n3.Metoda złotego podziału- to pojęcie z zakresuoptymalizacji matematycznej. Jest to numerycznametoda optymalizacji jednowymiarowej funkcjicelu.Funkcja ciągłafw przedziale [a,b] posiadadokładnie jedno minimum x. Minimum to możnaznaleźć poprzez kolejne podziały zadanegoprzedziału. W tym celu należy obliczyć wartościfunkcji w dwóch punktachxixtakich,żea<xL RL<x<b,a następnie zbadać ich wielkości:R-Jeżelif(x) >f(x), to szukane minimum znajdujeLRsięw przedziale [x ,b].Lx = b - (b - a)*kL-Jeżelif(x) <f(x), to szukane minimum znajdujeLRsięw przedziale [a,x ].Rx = a + (b - a)*kRW ten sposób można dowolnie zawężać przedziałw którym znajduje się minimum, aż do momentugdy spełniony zostanie warunek:dla ustalonej dokładności obliczeńε.Wielkośćotrzymanego w wyniku powyższego postępowaniaAproksymacja– proces określania rozwiązańprzybliżonych na podstawie rozwiązań znanych,któresą bliskie rozwiązaniom dokładnym wściślesprecyzowanym sensie. Przeważnie aproksymujebyty(np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi.Wzór Taylora, różnice zwykłe:Różnicą zwykłą rzędu pierwszego funkcjiy=f(x),nazywamy wyrażenie postaci:Różnice zwykłe wyższych rzędów definiujemyprzez różnice niższych rzędów:Z rozwinięcia funkcji analitycznejy=f(x)wotoczeniu punktuxw szereg Taylora... ... ... ...bnan2...anna11a21...an1a12a22...an2...b1...b2... ......bn∆1=Mogą wystąpi trzy przypadki:a)∆ ≠Jeżeli wyznacznik główny∆układu równańC(n)(n)nprzedziału ponkrokach wynosi: (b−a)kgdziekjest stałym współczynnikiem o któryzmniejszana jest wielkość przedziałów w kolejnychkrokach algorytmu.Współczynnik k jest równy wartości złotegopodziału (stąd mamy taką nazwę metody).nie jest równy zeru, to układ n równań liniowych ztą samą liczbą niewiadomych ma dokładnie jednorozwiązanie i jestukładem oznaczonym:∆∆∆x1=1,x2=2,...,nx=n∆∆∆
[ Pobierz całość w formacie PDF ]