Świątkowski J - Skrypt z Algebry Liniowej 2, Biologia Medycyna i nie tylko - Hasło UCZENIE !!!, Matematyka, Algebra ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Uniwersytet Wrocławski
Wydział Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
specjalno±¢: matematyka nauczycielska
Barbara Szczepa«ska
Skrypt z Algebry Liniowej 2
Praca magisterska
napisana pod kierunkiem
dr. hab. prof. Jacka wi¡tkowskiego
Wrocław 2007
Podzi¦kowania
Dzi¦kuj¦ Panu Profesorowi Jackowi wi¡tkowskiemu, mojemu pro-
motorowi, za po±wi¦cony mi czas, oraz liczne rady i wskazówki, które
pomogły mi w napisaniu tej pracy.
2
Wst¦p
Skrypt ten powstał na podstawie notatek do wykładu „Algbra liniowa 2”prowa-
dzonego przez prof. dr. hab. Jacka wi¡tkowskiego. Przeznaczony jest dla studentów
pierwszego roku matematyki, w szczególno±ci dla słuchaczy kursu z algebry liniowej
2 w łatwiejszym nurcie A.
Zało»eniem skryptu była pomoc słuchaczom w lepszym zrozumieniu tre±ci oma-
wianych w trakcie wykładu, dlatego został on napisany prostym j¦zykiem i wzboga-
cony o liczne rysunki i przykłady.
Tre±ci omawiane w trakcie wykładu, a tym samym zawarte w niniejszej pracy,
obejmuj¡ zakres klasycznej algebry liniowej poł¡czonej z geometri¡ analityczn¡, dla
przestrzeni
R
3
,
R
n
oraz dowolnych przestrzeni wektorowych. Skrypt ten w wielu
miejscach b¦dzie zawierał odwołania do analogicznych poj¦¢ omawianych w trakcie
wykładu „Algebra liniowa 1”i zawartych w pierwszej cz¦±ci skryptu napisanej przez
Patrycj¦ Piechaczek, dlatego wskazane jest, aby czytelnik chc¡cy zapozna¢ si¦ z
niniejsz¡ prac¡ opanował najpierw materiał omawiany w pierwszej cz¦±ci.
Pierwsze cztery rozdziały po±wi¦cone zostały na omówienie podstawowych po-
j¦¢ u»ywanych przy badaniu przestrzeni
R
3
, przy czym szczególny nacisk poło»ono
na geometryczn¡ interpretacj¦ tych poj¦¢, a dopiero w oparciu o nie wprowadza
si¦ teori¦ z algebry liniowej. Nast¦pnie (rozdziały 5 - 11) omówiono przekształcenia
przestrzeni
R
3
, szczególny nacisk poło»ono na poznanie teorii dotycz¡cych przeksz-
tałce« liniowych, poczynaj¡c od geometrycznych przykładów takich przekształce«,
poprzez omówienie najwa»niejszych własno±ci, a ko«cz¡c na wprowadzeniu pewnych
klas przekształce« liniowych. W odniesieniu do nich wprowadza si¦ równie» poj¦-
cie warto±ci i wektorów własnych oraz macierzy przekształcenia. Kolejne rozdziały
(12-13) dotycz¡ pewnych rodzajów macierzy rozmiaru 3
×
3, wraz z odniesieniem
do przekształce« zadanych tymi macierzami. W dalszej cz¦±ci (rozdział 14) wpro-
wadzono nowe układy współrz¦dnych, zarówno na płaszczy¹nie jak i w przestrzeni,
które b¦d¡ wykorzystywane do badania powierzchni stopnia drugiego, omawianych w
rozdziale 15. W skrypcie do±¢ du»o uwagi po±wi¦ca si¦ ró»nym metodom rozwi¡zy-
wania układów równa« liniowych z wieloma niewiadomymi (rozdziały 16,18,21).
Dalsza cz¦±¢ zawiera teori¦ dotycz¡c¡ przestrzeni wy»szych wymiarów, przy czym
zrezygnowano tu z odwoływania si¦ do intuicji geometrycznych. Pozostawiono je-
dynie analogie do przestrzeni
R
2
i
R
3
. Nast¦pnie (rozdział 18) wprowadzono teori¦
dotycz¡c¡ macierzy dowolnego rozmiaru. Omówiono tam działania na macierzach,
jak równie» ich zastosowanie. Na koniec (rozdział 24) podano przykłady poj¦¢ wys-
t¦puj¡cych w przestrzeniach
R
n
oraz w dowolnych przestrzeniach wektorowych, które
mo»emy rozpatrywa¢ jako uogólnenia poj¦¢ pojawiaj¡cych si¦ w
R
3
i
R
n
.
Mam nadziej¦, »e skrypt ten przyczyni si¦ do lepszego zrozumienia tre±ci oma-
3
4
wianych w ramach wykładu. ycz¦ Czytelnikowi czerpania jak najwi¦kszej przyjem-
no±ci z odkrywania algebry liniowej.
Barbara Szczepa«ska
Spis tre±ci
1 Punkty i wektory w
R
3
9
1.1 Współrz¦dne punktów w
R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Odległo±¢ punktów w
R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Wektory w
R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Działania na wektorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Rozkład wektora wzgl¦dem ustalonych trzech wektorów. . . . . . . . 16
1.6 Przedstawienie wektora w postaci kombinacji liniowej trzech wektorów. 17
1.7 Równanie parametryczne prostej w przestrzeni. . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Równanie parametryczne płaszczyzny w przestrzeni. . . . . . . . . . . 19
1.9 Liniowa zale»no±¢ i niezale»no±¢ wektorów w przestrzeni. . . . . . . . 19
2 Iloczyn skalarny w
R
3
23
2.1 Definicja i podstawowe własno±ci iloczynu skalarnego. . . . . . . . . . 23
2.2 K¡t mi¦dzy wektorami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Rzut prostok¡tny wektora
X
na prost¡ wzdłu» wektora
Y
. . . . . . . 26
2.4 Równanie ogólne płaszczyzny przechodz¡cej przez pocz¡tek układu
współrz¦dnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Równanie ogólne płaszczyzny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 K¡t pomi¦dzy płaszczyznami w
R
3
zadanymi równaniami ogólnymi. . 29
2.7 K¡t pomi¦dzy płaszczyzn¡ i prost¡ w
R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
U,W
w
R
3
. . . . . . 32
3 Iloczyn wektorowy 34
3.1 Definicja iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Własno±ci iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Geometryczna interpretacja iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . 37
4 Wyznacznik macierzy
3
×
3
41
4.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Własno±ci wyznacznika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Zastosowania wyznacznika 3
×
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Zastosowanie wyznacznika do rozwi¡zywania układu 3 równa« linio-
wych z 3 niewiadomymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Przekształcenia liniowe przestrzeni 53
5.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Rzut prostopadły na prost¡ wzdłu» wektora
U.
. . . . . . . . . . . . . 55
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]