Колемаев В.А. и др. - Теория вероятностей в примерах и задачах ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯОдобре�½оПрезидиумом НМС ГУУВ. А. КОЛЕМАЕВ,В. Н. КАЛИНИНА,В. И. СОЛОВЬЁВ,В. И. МАЛЫХИН,А. П. КУРОЧКИНТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙВ ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХУчеб�½ое пособиедля студе�½тов всех специаль�½остейМОСКВА– 2001ББК22.17я7УДК519.21 (075.8)6Н1Т34Теория вероят�½остей в примерах и задачах:Учеб�½ое пособие/В. А. Колемаев, В. Н. Кали�½и�½а, В. И. Соловьёв и др.; ГУУ.–М.,2001. – 87с.ISBN 5-215-01281-4Содержит задачи по теории вероят�½остей. По каждому разделу учеб�½ой про-граммы приводятся �½еобходимые теоретические сведе�½ия, типовые примеры среше�½иями и задачи для самостоятель�½ого реше�½ия, сопровождающиеся ответами.От других пособий отличается орие�½тацией �½а эко�½омические приложе�½ия:больши�½ство задач по каждой теме составле�½ы специаль�½о для �½астоящего изда-�½ия и иллюстрируют приме�½е�½ие математических методов при исследова�½ии эко-�½омических и социаль�½ых процессов, при�½ятии управле�½ческих реше�½ий, управ-ле�½ии рисками и т. д. Приводятся как элеме�½тар�½ые задачи, доступ�½ые студе�½тамвсех специаль�½остей, так и задачи повыше�½�½ой слож�½ости, рассчита�½�½ые �½а сту-де�½тов, изучающих расшире�½�½ый курс теории вероят�½остей и математическойстатистики.Для студе�½тов всех специаль�½остей, аспира�½тов и преподавателей.ББК22.17я7УДК519.21 (075.8)Ответстве�½�½ый редакторзаведующий кафедрой приклад�½ой математики ГУУ,доктор эко�½омических �½аук, профессорВ. А. КОЛЕМАЕВРеце�½зе�½тыдиректор и�½ститута статистики и эко�½ометрики МЭСИ,доктор эко�½омических �½аук, профессор В. С. Мхитаря�½заведующий кафедрой высшей математики ГУЗ,доктор физико-математических �½аук, профессор Н. В. КисловВ. А. Колемаев, В. Н. Кали�½и�½а, В. И. Соловьёв,В. И. Малыхи�½, А. П. Курочки�½,2001Государстве�½�½ый у�½иверситет управле�½ия,2001ISBN 5-215-01281-4ПРЕДИСЛОВИЕПредлагаемое учеб�½ое пособие пред�½аз�½аче�½о для студе�½тов эко�½омических специаль�½остей выс-ших учеб�½ых заведе�½ий, изучающих курс теории вероят�½остей и математической статистики. В посо-бии представле�½ы задачи, которые служат для усвое�½ия материала всех разделов теории вероят�½остей�½а ко�½крет�½ых примерах, воз�½икающих в практике управле�½ия эко�½омическими, социаль�½ыми и фи-�½а�½совыми системами. В процессе реше�½ия таких задач студе�½т �½е только закрепляет и углубляет тео-ретические з�½а�½ия, получе�½�½ые �½а лекциях, �½о и учится приме�½ять эти з�½а�½ия при поста�½овке и ре-ше�½ии реаль�½ых эко�½омических задач. В предлагаемом пособии эко�½омические, фи�½а�½совые и со-циологические приложе�½ия методов теории вероят�½остей и математической статистики выходят �½апервый пла�½, серьёз�½ый акце�½т делается �½е только �½а методы реше�½ия задач, �½о и �½а построе�½ие ма-тематических моделей, а�½ализ и эко�½омическую и�½терпретацию получе�½�½ых результатов. В результа-те использова�½ия учеб�½ого пособия студе�½т з�½акомится с ос�½ов�½ыми проблемами управле�½ия, эко�½о-мики, фи�½а�½сов, социологии и других смеж�½ых областей, при реше�½ии которых полез�½о приме�½е�½иевероят�½ост�½о-статистических методов, учится орие�½тироваться в математических методах и по эко�½о-мической поста�½овке задачи определять, в каком разделе математики искать средства для её реше�½ия,переходить от эко�½омической поста�½овки задачи к её математической модели, проводить по этой мо-дели расчёты и получать числовые результаты, а�½ализировать эти результаты и делать количестве�½-�½ые и качестве�½�½ые выводы, �½еобходимые для при�½ятия реше�½ий в своей предмет�½ой области.Учеб�½ое пособие отражает опыт преподава�½ия теории вероят�½остей и математической статистики вГосударстве�½�½ом у�½иверситете управле�½ия(см. [1], [8], [9], [10], [11], [14], [20], [21], [23])и пол�½остьюсоответствует учеб�½ику[1].Задачи разбиты по главам и параграфам в соответствии со структурой действующих учеб�½ых про-грамм и учеб�½ика[1].В каждом параграфе предлагаются �½еобходимые теоретические сведе�½ия, зада-чи с реше�½иями, а также большое число задач для самостоятель�½ой работы, сопровождающихся отве-тами. В реше�½иях задач большое в�½има�½ие уделяется �½е только методам и алгоритмам, �½о и переходуот эко�½омической поста�½овки проблемы к математической модели, эко�½омическому а�½ализу полу-че�½�½ых результатов. В�½утри параграфов слож�½ость возрастает от простых задач, для реше�½ия которых�½еобходимо использовать ста�½дарт�½ые формулы и приёмы, до доволь�½о слож�½ых, рассчита�½�½ых �½астуде�½тов, изучающих расшире�½�½ый курс теории вероят�½остей и математической статистики,—ре-ше�½ия этих задач содержат при�½ципиаль�½о важ�½ые идеи либо требуют аккурат�½ого проведе�½ия дос-таточ�½о больших математических выкладок.Чтобы облегчить студе�½там освое�½ие слож�½ой дисципли�½ы, авторы стремились сделать задачи и�½-терес�½ыми и по форме, и по содержа�½ию.При подготовке пособия авторами был учтё�½ опыт всех извест�½ых им задач�½иков по теории веро-ят�½остей и математической статистике. Ряд задач заимствова�½ из работ[1]-[25].Больши�½ство задач яв-ляются ориги�½аль�½ыми и подготовле�½ы авторами специаль�½о для да�½�½ого изда�½ия.Работа авторов �½ад пособием распределилась следующим образом: предисловие и теоретическиевведе�½ия к параграфам �½аписа�½ы совмест�½о д-ром эко�½. �½аук, проф. В. А. Колемаевым, ка�½д. тех�½. �½а-ук, проф. В. Н. Кали�½и�½ой и ка�½д. эко�½. �½аук В. И. Соловьёвым; задачи13-18, 25-27, 39, 40, 51, 53, 72-75,77, 90, 101, 103, 104, 106, 110-112, 139-143, 147, 148, 154-157, 170, 175, 176, 193, 198, 200, 201, 213, 224, 231, 232,234, 247-249, 252, 253, 256, 260, 261, 264-267, 271, 272, 275, 283, 284, 301, 304, 309, 310, 314, 315, 317, 319, 321-323, 330, 343, 348, 358-360 (всего 83задачи) предложе�½ы д-ром эко�½. �½аук, проф. В. А. Колемаевым, зада-чи64-66, 70, 82, 83, 121, 122, 130, 158, 167, 168, 172, 179, 182-184, 189, 191, 199, 207, 225-229, 244-246, 255, 262-263, 268-270, 294, 296-299, 311, 316, 324, 351 (всего 44задачи) предложе�½ы ка�½д. тех�½. �½аук, проф. В. Н. Ка-ли�½и�½ой, задачи1-12, 19-24, 28-37, 41-46, 48, 52, 55, 57-63, 69, 71, 78-80, 84-88, 91-100, 102, 108, 109, 114-120,123, 127-129, 131, 135-138, 146, 149-153, 159-160, 162, 165, 166, 169, 171, 174, 177, 178, 180, 185-188, 190, 192,196, 197, 202, 204-206, 212, 214-216, 222, 223, 230, 235, 236, 239-243, 251, 254, 257-259, 273, 274, 276-282, 285-293,295, 300, 302, 303, 305-308, 312, 313, 318, 320, 325-329, 331-342, 344-347, 352-357, 361-369 (всего 200задач)предложе�½ы ка�½д. эко�½. �½аук В. И. Соловьёвым, задачи38, 47, 54, 56, 67, 68, 81, 89, 105, 107, 132-134, 144,145, 161, 163, 164, 173, 181, 194, 203, 208-210, 217-220, 233, 250, 349, 350 (всего 33задачи) предложе�½ы д-ромфиз.-мат. �½аук, проф. В. И. Малыхи�½ым, задачи49, 50, 113, 126, 195, 211, 221, 237, 238 (всего 9задач)предложе�½ы ка�½д. тех�½. �½аук, доц. А. П. Курочки�½ым; реше�½ия всех задач, ответы и приложе�½ия под-готовле�½ы ка�½д. эко�½. �½аук В. И. Соловьёвым.3Глава1.ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА§1.1.ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИВ теории вероят�½остей часто приходится иметь дело с задачами, в которых �½еобходимо под-считывать число возмож�½ых способов соверше�½ия каких-либо действий. Задачи такого типа �½а-зываются комби�½атόр�½ыми, а раздел математики, за�½имающийся реше�½ием таких задач,—ком-би�½атόрикой. Сформулируем два у�½иверсаль�½ых правила, приме�½яемых при реше�½ии комби�½а-тор�½ых задач.ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.Пусть требуется выпол�½ить од�½о за другим какие-либоmдействий. Еслипервое действие мож�½о выпол�½итьn1способами, второе действие—n2способами и так доm-годейст-вия, которое мож�½о выпол�½итьnmспособами, то всеmдействий могут быть выпол�½е�½ыn1n2nmбами и так доm-годействия, которое мож�½о выпол�½итьnmспособами, то выпол�½ить од�½о из этихmдействий мож�½о(n1+n2+ +nm)способами.способами.ПРАВИЛО СУММЫ.Пусть требуется выпол�½ить од�½о из каких-либоmдействий, взаим�½о исклю-чающих друг друга. Если первое действие мож�½о выпол�½итьn1способами, второе действие—n2спосо-Напом�½им по�½ятие факториала, актив�½о используемое в комби�½аторике.Факториалом �½ату-раль�½ого числаn�½азывается числоn!=n(n−1)(n−2)!=1.3⋅2⋅1.(1.1)(1.2)По определе�½ию,факториалом �½уляявляется еди�½ица:Рассмотрим �½екоторое м�½ожествоS,состоящее изnразлич�½ыхэлеме�½тов. Пусть1k n.Назовёмм�½ожество,состоящее изkэлеме�½тов,упорядоче�½�½ым,если каждому элеме�½ту этого м�½о-жества поставле�½о в соответствие число от1доk,причём различ�½ым элеме�½там м�½ожества соот-ветствуют раз�½ые числа.Размеще�½иями изnэлеме�½тов поk�½азываются упорядоче�½�½ые подм�½ожества м�½ожестваS,со-стоящие изkразлич�½ыхэлеме�½тов и отличающиеся друг от друга составом элеме�½тов или поряд-ком их расположе�½ия.Число размеще�½ий изnэлеме�½тов поkрав�½оAk=nn!=n(n−1)(n−2)(n−k)!(n−k+1).(1.3)Переста�½овками изnэлеме�½тов�½азываются размеще�½ия изnэлеме�½тов поn,т. е. упорядоче�½-�½ые подм�½ожества м�½ожестваS,состоящие из всех элеме�½тов да�½�½ого м�½ожества и отличающие-ся друг от друга только порядком их расположе�½ия.Число переста�½овок изnэлеме�½тов рав�½оPn=n!=n(n−1)(n−2)3⋅2⋅1.(1.4)Сочета�½иями изnэлеме�½тов поk�½азываются подм�½ожества м�½ожестваS,состоящие изkраз-лич�½ыхэлеме�½тов и отличающиеся друг от друга только составом элеме�½тов.Число сочета�½ий изnэлеме�½тов поkрав�½оAkn!n(n−1)(n−2) (n−k+1)kCn=n==.Pkk!(n−k)!k(k−1)(k−2)3⋅2⋅1(1.5)Размеще�½иями с повторе�½иями изnэлеме�½тов поk�½азываются упорядоче�½�½ые подм�½ожествам�½ожестваS,состоящие изkэлеме�½тов, среди которых могут оказаться оди�½аковые, и отли-чающиеся друг от друга составом элеме�½тов или порядком их расположе�½ия.Число размеще�½ий с повторе�½иями изnэлеме�½тов поkрав�½оAk=nk.n(1.6)4Сочета�½иями с повторе�½иями изnэлеме�½тов поk�½азываются подм�½ожества м�½ожестваS,со-стоящие изkэлеме�½тов, среди которых могут оказаться оди�½аковые, и отличающиеся друг отдруга только составом элеме�½тов.Число сочета�½ий с повторе�½иями изnэлеме�½тов поkрав�½о(n+k−1)! (n+k−1)(n+k−2)nCk=Ck+k−1==nnk!(n−1)!k(k−1)(k−2)3⋅2⋅1 .(1.7)Отметим, что формулы(1.4) – (1.7)сохра�½яют смысл и остаются справедливыми и приk=.Если во м�½ожествеS,состоящем изnэлеме�½тов, есть толькоmразлич�½ыхэлеме�½тов, топере-ста�½овками с повторе�½иями изnэлеме�½тов�½азываются упорядоче�½�½ые подм�½ожества м�½ожестваS,в которые первый элеме�½т м�½ожестваSвходитn1раз, второй элеме�½т—n2раз и так доm-го элеме�½та, который входитnmраз(n1+n2+ +nm=n).Число переста�½овок с повторе�½иями изnэлеме�½тов, в которые первый элеме�½т м�½ожестваSвходитn1раз, второй элеме�½т—n2раз и так доm-гоэлеме�½та, который входитnmраз(n1+n2++nm=n),рав�½оPn(n1,n2,...,nm)=n!.n!n!nm!1 2(1.8)1.Маша поссорилась с Петей и �½е хочет ехать с �½им в од�½ом автобусе. Отобщежития до и�½ститута с7до8ч отправляется пять автобусов. Не успевший �½апослед�½ий из этих автобусов опаздывает �½а лекцию. Сколькими способами Машаи Петя могут доехать до и�½ститута в раз�½ых автобусах и �½е опоздать �½а лекцию?РЕШЕНИЕ.Петя может доехать до и�½ститутаn1=5различ�½ыми способами(�½аод�½ом из пятиавтобусов), при этом Маше остаётся толькоn2=4способа(таккак оди�½ из автобусов за�½ят Пе-тей). Таким образом, по правилу произведе�½ия у Пети и Маши естьn1n2=5⋅4=20различ�½ыхспособов добраться до и�½ститута в раз�½ых автобусах и �½е опоздать �½а лекцию.2.В и�½формацио�½�½о-тех�½ологическом управле�½ии ба�½ка работают три а�½а-литика, десять программистов и20и�½же�½еров. Для сверхуроч�½ой работы в празд-�½ич�½ый де�½ь �½ачаль�½ик управле�½ия долже�½ выделить од�½ого сотруд�½ика. Сколь-ко способов существует у �½ачаль�½ика управле�½ия?РЕШЕНИЕ.Началь�½ик управле�½ия может отобрать од�½ого а�½алитикаn1=3способами, од�½огопрограммиста—n2=10способами, а од�½ого и�½же�½ера—n3=20способами. Поскольку по ус-ловию задачи �½ачаль�½ик управле�½ия может выделить любого из своих сотруд�½иков, соглас�½оправилу суммы у �½его существуетn1+n2+n3=3+10+20=33различ�½ых способа выбрать со-труд�½ика для сверхуроч�½ой работы.3.Началь�½ик службы безопас�½ости ба�½ка долже�½ ежед�½ев�½о расставлять де-сять охра�½�½иков по десяти постам. В целях усиле�½ия безопас�½ости од�½а и та жекомби�½ация расста�½овки охра�½�½иков по постам �½е может повторяться чаще од�½о-го раза в месяц. Чтобы оце�½ить, возмож�½о ли это, �½айти число различ�½ых комби-�½аций расста�½овки охра�½�½иков.до девятого поста, �½а который мож�½о �½аз�½ачить любого из оставшихсяn9=2охра�½�½иков, приэтом оставшийсяn10=1охра�½�½ик будет �½аз�½аче�½ �½а десятый пост. Поэтому, соглас�½о правилуРЕШЕНИЕ.Первый способ.На первый пост �½ачаль�½ик службы безопас�½ости может �½аз�½ачитьлюбого изn1=10охра�½�½иков, �½а второй пост—любого из оставшихсяn2=9охра�½�½иков и такпроизведе�½ия, у �½ачаль�½ика службы безопас�½ости естьn1n2n10=10⋅9 2⋅1=10!=3 628 800способов расста�½овки охра�½�½иков по постам. Поскольку количество д�½ей в месяце �½е превышает31,у �½ачаль�½ика службы безопас�½ости заведомо существует достаточ�½ое число способов расста-�½овки своих подчи�½ё�½�½ых по постам.5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]